Числа, кратные кол-ву своих делителей, но не кратные с.ц.

[Ktina]

Рассмотрим последовательность 56 88 96 104 128 ...

Это числа, которые делятся на число своих делителей, но не делятся на сумму своих десятичных цифр.

а) Докажите, что таких чисел бесконечно много.

б) Докажите, что среди таких чисел бесконечно много квадратов.

[versham]

Первый пункт можно сделать так. Нужные нам числа будем строить как $8p$, где $p$ - простое. У такого числа будет ровно $8$ делителей: $1, 2, 4, 8, p, 2p, 4p, 8p$. Таким образом, первое условие выполнено. С суммой цифр все сложнее. Нужно, чтобы $8p$ не делилось на свою сумму цифр, то есть она не должна быть одним из выше указанных делителей. Если брать достаточно большие $p$, то, очевидно, сумма цифр числа $8p$ будет меньше $p$ (строго доказать это несложно, граница: $p > 12$), так что последние четыре делителя можно не учитывать. Теперь потребуем, чтобы сумма цифр была строго больше $8$. Самый простой способ так сделать (как я думаю) - это потребовать, чтобы $p$ заканчивалось на $1$. Тогда в разряде едениц у $8p$ будет стоять $8$, а значит сумма цифр будет строго больше $8$, что нам и требуется.

Доказательство, что простых чисел оканчивающихся еденицей бесконечно много:
Простых чисел бесконечно много. Перемножив несколько (больше двух) последовательных простых чисел, начиная с $2$ и прибавив еденицу получим простое число. Но т. к. наше произведение было кратно $10$ (среди множителей было $2$ и $5$), после прибавления $1$, оно стало оканчиваться на $1$. Таким образом можно строить бесконечно много чисел нужного вида.

Итог: подходят все числа $8p$, где $p$ - достаточно большое простое число, которое кончается еденицей.

Похожим образом можно строить примеры для второго пункта. Там будут подходить числа вида $(3p)^2=9p^2$, у такого числа ровно $9$ делителей: $1,3,9,p,3p,9p,p^2,3p^2,9p^2$, так что опять первое условие автоматически выполняется. Так же как и в прошлом пункте, при больших $p$ ($p>21$) сумма цифр $9p^2$ будет меньше, чем $p$. А если $p$ заканчивается на $1$, тогда в разряде едениц у $9p^2$ будет $9$ и сумма цифр будет строго больше $9$, что исключает делимость $9p^2$ на свою сумму цифр.

[waxtep]

Есть подозрение, что $3^{3^n-1}$ подойдет (при $n>1$)

[wrest]

waxtep в сообщении #1332884 писал(а):

Есть подозрение, что $3^{3^n-1}$ подойдет (при $n>1$)

Дальше чем $n=17$ проверить памяти не хватает. А до - подходят.

[versham]

waxtep в сообщении #1332884 писал(а):

Есть подозрение, что $3^{3^n-1}$ подойдет (при $n>1$)

Это можно довольно хорошо (но все же не строго) обосновать. Первое условие автоматически выполняется, т. к. число делителей есть $3^n$. Для второго нужно, чтобы сумма цифр (обозначу ее как $d(x)$) не была степенью тройки.

Предположим, что
$d(3^{3^x-1})=3^y$

Предположим, что цифры равномерно распределены в записи степени тройки, то есть вероятности встретить каждую цифру равны. Мат. ожидание для цифры тогда будет $4,5$. Тогда
$d(3^{3^x-1})\approx 4,5 \lg (3^{3^x-1})=4,5(3^x-1) \lg 3$

Но

wrest в сообщении #1332890 писал(а):

Дальше чем $n=17$ проверить памяти не хватает. А до - подходят.

Получается $x>17$. Тогда мы практически не потеряем точность, если скажем
$3^x-1\approx 3^x$
Подставляем:
$d(3^{3^x-1})\approx4,5\lg 3 \cdot 3^x$
(Это дает на больших числах ошибку меньше $1\%$)

Получаем "приближенное уравнение":
$3^y=4,5\lg 3 \cdot 3^x$
Логарифмируем:
$y=\log_3(4,5\lg 3) + x$
Откуда
$y-x=\log_3(4,5\lg 3)\approx 0.7$

Но $x, y$ - это должны быть целые числа, а наши предположения не настолько неточны, чтобы давать такую огромную ошибку (самое близкое целое - $1$, тогда абсолютная погрешность $0,3$, а относительная $\frac{0,3}{0,7}>40\%$).

Маловероятно, что такие $x, y$ будут существовать.

[Ktina]

Опять все в какие-то дебри полезли.
Подсказка 1:

(Оффтоп)

Один корреспондент удивился, как гроссмейстер
Таль не увидел простого хода, который нашёл бы даже
ученик шестого класса. «О, если бы я сейчас учился
в шестом классе, – с грустью сказал Таль, – я бы и
не такой ход нашёл!»

[waxtep]

А, ну да: $13^4\cdot10^{5^m-1}$, например

[mihaild]

versham в сообщении #1332872 писал(а):

Перемножив несколько (больше двух) последовательных простых чисел, начиная с $2$ и прибавив еденицу получим простое число

Неправда: $1 + 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 11 \cdot 13 = 30031 = 59 \cdot 509$.
Можно воспользоваться теоремой Дирихле - в арифметической прогрессии $1, 11, 21, 31, \ldots$ бесконечно много простых чисел. Но теорема Дирихле - штука сложная.

[kotenok gav]

А если, m, скажем, 4?

-- 16 авг 2018, 22:33 --

А, исправили.

[Ktina]

waxtep

waxtep в сообщении #1332919 писал(а):

А, ну да: $13^4\cdot10^{5^m-1}$, например

Ну вот, видите

[waxtep]

kotenok gav в сообщении #1332922 писал(а):

А, исправили.

Ага, чуть-чуть не успел

-- 16.08.2018, 16:08 --

Ktina в сообщении #1332923 писал(а):

Ну вот, видите

Ну, все равно, штука $x^{y^z}$ это слооожненько

[versham]

mihaild в сообщении #1332921 писал(а):

versham в сообщении #1332872 писал(а):

Перемножив несколько (больше двух) последовательных простых чисел, начиная с $2$ и прибавив еденицу получим простое число

Неправда: $1 + 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 11 \cdot 13 = 30031 = 59 \cdot 509$.

Под "последовательные" я понимаю "идущие друг за другом". За $11$ идет $13$, а не $11$, так что контрпример не годится.

[mihaild]

versham в сообщении #1332930 писал(а):

Под "последовательные" я понимаю "идущие друг за другом". За $11$ идет $13$, а не $11$, так что контрпример не годится.

Это у меня опечатка. $11$ там должно быть один раз.

[versham]

mihaild в сообщении #1332931 писал(а):

versham в сообщении #1332930 писал(а):

Под "последовательные" я понимаю "идущие друг за другом". За $11$ идет $13$, а не $11$, так что контрпример не годится.

Это у меня опечатка. $11$ там должно быть один раз.

Действительно, Вы правы. Прошу прощения. (Доказательство, правда, осталось строгим, Вы сами вспомнили про теорему Дирихле)