Точки на окружности длины 2016

[Ktina]

(по сомнительным мотивам задачи «Точки на окружности длины 2013»)

а) Какое наименьшее число точек можно выбрать на окружности длины 2016 так, чтобы для каждой из этих точек нашлась ровно одна выбранная точка на расстоянии 1, ровно одна на расстоянии 3 и ровно одна на расстоянии 5 (расстояния измеряются по окружности)?

б) А какое наибольшее?

[gris]

1. Точки с координатами вдоль окружности $0,1,3,4,8,9,11,12,...2008,2009,2011,2012$ подойдут. Всего 1008 штук.
2. Смещая конструкцию на квадратные корни из простых чисел получим очень много вариантов.

[Ktina]

gris в сообщении #1332607 писал(а):

1. Точки с координатами вдоль окружности $0,1,3,4,8,9,11,12,...1008,2009,2011,2012$ подойдут. Всего 1008 штук.

Это наименьшее или наибольшее? Или both?

-- 15.08.2018, 11:59 --

Только координата четвёртой с конца точки не 1008, а 2008, но это уже мелочи жизни.

[gris]

У Вас не сказано, что точки имеют целочисленные координаты относительно первой точки. Поэтому, имея конструкцию в 1008 точек, мы можем сдвинуть её вдоль окружности на, например, пи и получить вторую удовлетворяющую конструкцию. Их объединение также будет удовлетворять. И так можно делать много раз, следя за тем, чтобы никакая разность сдвигов не равнялась целому числу.
Можно ещё такое предложить: $0,1,4,5,8,9...$. Но меньше уж никак. Интересно, что условие ровно одной точки на расстоянии нечётного числа выполняется.

[Ktina]

gris в сообщении #1332610 писал(а):

У Вас не сказано, что точки имеют целочисленные координаты.

Вы правы. Эх, забывчивость моя!

[grizzly]

gris в сообщении #1332607 писал(а):

2. Смещая конструкцию на квадратные корни из простых чисел получим очень много вариантов.

Очень мало -- счётное число. Можно намного больше

[Ktina]

grizzly в сообщении #1332614 писал(а):

Очень мало -- счётное число. Можно намного больше

Континуум? А как?

[gris]

grizzly, я хотел было, но испугался проводить построение континуального множества точек, в котором нет ни одного целого попарного расстояния.

[grizzly]

Может, я чего-нибудь не понял? Но беру это решение:

gris в сообщении #1332607 писал(а):

$0,1,3,4,8,9,11,12,...2008,2009,2011,2012$

И каждую точку растягиваю на единичный интервал: (0;1), (1;2), (3;4), (4;5). Вроде как достаточно. Больше континуума всё равно не поставить.