Ну если Стилтьеса интеграл брать от непрерывной функции по функции тождественно равной нулю и по функции
![$\chi_{\{0\}}$ $\chi_{\{0\}}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/f/3/af34d7f808db84aa7e9288e4597d2fd082.png)
вроде бы результат один. А вариация у второй равна двум. Или я ошибся?
Надо просто посмотреть, как формулируется теорема. Что любой линейный непрерывный функционал на
![$C[a,b]$ $C[a,b]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/e/fbeb56df8cf1724a777f83396b15495982.png)
можно представить единственным образом как интеграл Римана-Стилтьеса по функции
![$\Phi(x)$ $\Phi(x)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/f/29f2172bd6dde59081172590e76a3afb82.png)
с ограниченным изменением, непрерывной справа на интервале
![$(a,b)$ $(a,b)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/c/d/0cd27d4708cd735f6ea469dc3debed0e82.png)
и такой что
![$\Phi(a)=0$ $\Phi(a)=0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/9/c/e9ca5bdd783bac20c7b02a136c922dfe82.png)
.
(Оффтоп)
А если в этой формулировке предполагать, что функция
![$\Phi$ $\Phi$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/e/1/5e16cba094787c1a10e568c61c63a5fe82.png)
может быть определена и вне
![$[a,b]$ $[a,b]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/e/4/fe477a2781d275b4481790690fccd15f82.png)
, то нужно требовать непрерывность справа на
![$(a,b]$ $(a,b]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/6/f/c6f523011785edb445cc341039ecd26e82.png)
- что у Колмогорова-Фомина и делается. Впрочем, проще предполагать (в т.ч. и в свете единственности такой функции), что она определена только на
![$[a,b]$ $[a,b]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/e/4/fe477a2781d275b4481790690fccd15f82.png)
, и тогда это ухищрение не нужно.
И тогда норма функционала равна полной вариации этой самой функции
![$\Phi$ $\Phi$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/e/1/5e16cba094787c1a10e568c61c63a5fe82.png)
.
Как Вы понимаете, Ваш пример с
![$\chi_{\{0\}}$ $\chi_{\{0\}}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/f/3/af34d7f808db84aa7e9288e4597d2fd082.png)
не является контрпримером к утверждению выше.