2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: О теореме Ф.Рисса об общем виде функционала в C[a,b]
Сообщение13.08.2018, 20:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4638
RabbitXO в сообщении #1332272 писал(а):
Ну если Стилтьеса интеграл брать от непрерывной функции по функции тождественно равной нулю и по функции $\chi_{\{0\}}$ вроде бы результат один. А вариация у второй равна двум. Или я ошибся?
Надо просто посмотреть, как формулируется теорема. Что любой линейный непрерывный функционал на $C[a,b]$ можно представить единственным образом как интеграл Римана-Стилтьеса по функции $\Phi(x)$ с ограниченным изменением, непрерывной справа на интервале $(a,b)$ и такой что $\Phi(a)=0$.

(Оффтоп)

А если в этой формулировке предполагать, что функция $\Phi$ может быть определена и вне $[a,b]$, то нужно требовать непрерывность справа на $(a,b]$ - что у Колмогорова-Фомина и делается. Впрочем, проще предполагать (в т.ч. и в свете единственности такой функции), что она определена только на $[a,b]$, и тогда это ухищрение не нужно.
И тогда норма функционала равна полной вариации этой самой функции $\Phi$.

Как Вы понимаете, Ваш пример с $\chi_{\{0\}}$ не является контрпримером к утверждению выше.

 Профиль  
                  
 
 Re: О теореме Ф.Рисса об общем виде функционала в C[a,b]
Сообщение13.08.2018, 20:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
RabbitXO в сообщении #1332272 писал(а):
Или я ошибся?

В этом случае разрыв утранимый, доказательство нарушается, т.е. при таком переопределении нельзя гарантировать сохрагение нижней оценки для нормы.

 Профиль  
                  
 
 Re: О теореме Ф.Рисса об общем виде функционала в C[a,b]
Сообщение13.08.2018, 20:20 


09/10/15
50
Спасибо! Возможно и так, надо обдумать. Подумаю.

Через меры всё таки формулировки компактней. Хотя в учебниках на русском таких не встречал.

Но в пособиях всяких, очень даже часто встречал о норме равно полной вариации, без всяких оговорок.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group