Ну если Стилтьеса интеграл брать от непрерывной функции по функции тождественно равной нулю и по функции

вроде бы результат один. А вариация у второй равна двум. Или я ошибся?
Надо просто посмотреть, как формулируется теорема. Что любой линейный непрерывный функционал на
![$C[a,b]$ $C[a,b]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/e/fbeb56df8cf1724a777f83396b15495982.png)
можно представить единственным образом как интеграл Римана-Стилтьеса по функции

с ограниченным изменением, непрерывной справа на интервале

и такой что

.
(Оффтоп)
А если в этой формулировке предполагать, что функция

может быть определена и вне
![$[a,b]$ $[a,b]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/e/4/fe477a2781d275b4481790690fccd15f82.png)
, то нужно требовать непрерывность справа на
![$(a,b]$ $(a,b]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/6/f/c6f523011785edb445cc341039ecd26e82.png)
- что у Колмогорова-Фомина и делается. Впрочем, проще предполагать (в т.ч. и в свете единственности такой функции), что она определена только на
![$[a,b]$ $[a,b]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/e/4/fe477a2781d275b4481790690fccd15f82.png)
, и тогда это ухищрение не нужно.
И тогда норма функционала равна полной вариации этой самой функции

.
Как Вы понимаете, Ваш пример с

не является контрпримером к утверждению выше.