О теореме Ф.Рисса об общем виде функционала в C[a,b]

[Mikhail_K]

RabbitXO в сообщении #1332272 писал(а):

Ну если Стилтьеса интеграл брать от непрерывной функции по функции тождественно равной нулю и по функции $\chi_{\{0\}}$ вроде бы результат один. А вариация у второй равна двум. Или я ошибся?

Надо просто посмотреть, как формулируется теорема. Что любой линейный непрерывный функционал на $C[a,b]$ можно представить единственным образом как интеграл Римана-Стилтьеса по функции $\Phi(x)$ с ограниченным изменением, непрерывной справа на интервале $(a,b)$ и такой что $\Phi(a)=0$.

(Оффтоп)

А если в этой формулировке предполагать, что функция $\Phi$ может быть определена и вне $[a,b]$, то нужно требовать непрерывность справа на $(a,b]$ - что у Колмогорова-Фомина и делается. Впрочем, проще предполагать (в т.ч. и в свете единственности такой функции), что она определена только на $[a,b]$, и тогда это ухищрение не нужно.

И тогда норма функционала равна полной вариации этой самой функции $\Phi$.

Как Вы понимаете, Ваш пример с $\chi_{\{0\}}$ не является контрпримером к утверждению выше.

[thething]

RabbitXO в сообщении #1332272 писал(а):

Или я ошибся?

В этом случае разрыв утранимый, доказательство нарушается, т.е. при таком переопределении нельзя гарантировать сохрагение нижней оценки для нормы.

[RabbitXO]

Спасибо! Возможно и так, надо обдумать. Подумаю.

Через меры всё таки формулировки компактней. Хотя в учебниках на русском таких не встречал.

Но в пособиях всяких, очень даже часто встречал о норме равно полной вариации, без всяких оговорок.