О теореме Ф.Рисса об общем виде функционала в C[a,b]

[thething]

Добрый день!

Возникла пара вопросов, связанных с теоремой Рисса об общем виде линейного непрерывного функционала в $C[a,b]$. Далее буду ссылаться на Колмогорова, Фомина.

По теореме Хана-Банаха мы продолжаем функционал $F$ на пространство ограниченных функций с сохранением нормы. Затем вводим семейство функций $h_a(x)\equiv0$,

$$h_\tau(x)=\begin{cases} 1,&\text{если $a<x\leqslant\tau$;}\\ 0,&\text{если $\tau<x\leqslant b$.} \end{cases}$$

Затем определяем функцию $\Phi(\tau)=F(h_\tau(x))$. Дальше показываем, что она имеет ограниченное изменение... Собственно, по доказательству нет никаких вопросов, а, как выяснилось, есть вопросы по замечанию после доказательства.

Колмогоров и Фомин пишут, что для любого функционала $F$ на $C[a,b]$ введенная функция $\Phi(\tau)$ является непрерывной справа всюду на $(a,b]$. И вот тут я понял, что не могу это обосновать. Во-первых, не понимаю, почему непрерывность именно справа. Во-вторых, как понимать непрерывность справа в точке $b$? Склоняюсь к мысли, что опечатка и $b$ надо выкинуть. И, в-третьих, как формально обосновать эту непрерывность? Хочется по определению, с учетом непрерывности функционала $F$, но наталкиваюсь на то, что норма разности любых двух различных функций семейства $h_\tau$ равна единице (здесь норма -- супремум модуля разности). Может, я не вижу чего-то очевидного?

[thething]

Кажись, разобрался. Из построения $\Phi$ эта непрерывность справа не следует, но мы можем переопределить $\Phi$ в точках разрыва (коих, в силу монотонности, не более, чем счетное число) так, чтобы переопределенная функция стала непрерывной справа. При этом интеграл не изменит своего значения, верхняя оценка нормы функционала не изменится, а нижняя -- либо не изменится, либо усилится (если в точке разрыва $\xi$ $\Phi(\xi)\notin[\Phi(\xi-0),\Phi(\xi+0)]$.

[pogulyat_vyshel]

thething в сообщении #1331879 писал(а):

По теореме Хана-Банаха мы продолжаем функционал $F$ на пространство ограниченных функций с сохранением нормы.

Я думаю, что вся проблема сидит вот в этой постановке вопроса. С помощью теоремы Хана-Банаха можно много всяких разных продолжений получить
А вот если мы будем продолжать функционал $F$ так как это обычно делается в теории меры (см Лоран Шварц Анализ или Эдвардс "Функциональный анализ") тогда вот это утверждение

thething в сообщении #1331879 писал(а):

для любого функционала $F$ на $C[a,b]$ введенная функция $\Phi(\tau)$ является непрерывной справа

является тривиальным следствием стандартных теорем

[thething]

Именно, что тут речь идет просто о некоем продолжении, без конкретики. Дальше, цитирую:

Цитата:

Заметим, наконец, что для любого функционала $F$ на $C[a,b]$ соответствующая функция $\Phi(\tau)$, определяемая равенством (17), есть функция именно из $V^0[a,b]$

Равенство (17) здесь -- это как раз $\Phi(\tau)=F(h_\tau(x))$, а $V^0[a,b]$ -- это множество функций ограниченной вариации, обращающихся в 0 в точке $a$ и непрерывных справа всюду на интервале (или полуинтервале).

Вот я и пытался угадать, как только из рассматриваемых в доказательстве построений следует процитированное утверждение. Сделал вывод, что никак, ну а оказалось, что не очень-то и надо. Авторы, видимо, сочли, что в контексте разговора о классах эквивалентности, грамотный человек поймет их утверждение сразу, как надо, а не будет сидеть тупить пол дня, пытаясь формально его по определению обосновать (это я про себя)).

[pogulyat_vyshel]

thething в сообщении #1331920 писал(а):

но мы можем переопределить $\Phi$ в точках разрыва (коих, в силу монотонности, не более, чем счетное число)

вообще-то не можем, мера даже одной единственной точки необязана рвавняться нулю, возмите ,например, $\delta-$функцию

[thething]

Можем, см. Колмогоров-Фомин, издание 1976 года, стр.364, свойство 3 интеграла Римана-Стилтьеса.

[RabbitXO]

Да, это ужас с этим Стилтьесом. Тут ещё нюанса, что норму функционала, через вариацию функции, которая соответствует функционалу, не представить. Хотя попадается, что мол норма равна полной вариации. %) С мерами другое дело...

(Оффтоп)

ну ещё и нюанс, как в анекдоте, как меру строить по ф. р., какие полуинтервал брать.

[pogulyat_vyshel]

thething в сообщении #1332259 писал(а):

ожем, см. Колмогоров-Фомин, издание 1976 года, стр.364, свойство 3 интеграла Римана-Стилтьеса.

а при чем тут интеграл Римана-Стилтьеса? Мы занимаемся продолжением линейного функционала. Вот берем какую-нибудь точку $c\in (a,b)$ и функционал $F(u)=u(c)$ -- пожалуйста, он определен на пространстве всех ограниченных функций на отрезке $[a,b]$ и непрерывен в смысле $\sup-$нормы. Ну и как вы собираетесь менять значения функции $u$ в точке $c$ таким образом, что бы $F(u)$ не изменилось?

[Mikhail_K]

RabbitXO в сообщении #1332263 писал(а):

Тут ещё нюанса, что норму функционала, через вариацию функции, которая соответствует функционалу, не представить.

Объясните, что Вы имеете в виду. А то теорема, коей посвящена данная тема, именно это и утверждает - что норма равна вариации.

[thething]

pogulyat_vyshel в сообщении #1332264 писал(а):

а при чем тут интеграл Римана-Стилтьеса?

Как при чем? Мы получили общий вид функционала на $C$, как интеграл Римана-Стилтьеса. Теперь можем построенную функцию ограниченной вариации переопределить в рамках дозволенного. От этого интеграл не поменяется.

[pogulyat_vyshel]

по-вашему тогда получается, что в исходном утверждении непрерывность справа несущественна, можно и слева устроить непрерывность -- как доопределим так и будет, разве нет?

[thething]

Как я понимаю, можно вообще непрерывности справа-слева не требовать, а переопределять как угодно. Главное условие -- переопределить так, чтобы переопределенное значение находилось в пределах скачка, иначе оценка нормы снизу испортится.. А непрерывность справа -- ну может быть, это просто некое соглашение, для универсальности, чтобы норму можно было считать через вариацию каждый раз однотипно.

Но может быть, я чего-то не понимаю..

[pogulyat_vyshel]

я может тоже чего-то не понимаю, но если мы будем продолжать функционал не абы как, а стандартно, то там сразу становится ясно, откуда берется непрерывность справа и почему она именно справа, а не слева

[RabbitXO]

Mikhail_K в сообщении #1332266 писал(а):

что норма равна вариации.

меры.
Ну если Стилтьеса интеграл брать от непрерывной функции по функции тождественно равной нулю и по функции $\chi_{\{0\}}$ вроде бы результат один. А вариация у второй равна двум. Или я ошибся?

[thething]

pogulyat_vyshel в сообщении #1332271 писал(а):

если мы будем продолжать функционал не абы как, а стандартно, то там сразу становится ясно, откуда берется непрерывность справа и почему она именно справа

Ок, попробую осилить Эдвардса (вот это труд!!) В любом случае, мое рассуждение вроде бы (вроде бы) ничего не испортит (а в лучшем случае, просто ничего не изменит))