Математический смысл в плотности состояний в теорвере?

[Divergence]

Каков математический смысл в плотности состояний (density of states, DOS) в теории вероятностей, и в чем математическое отличие этого понятия от плотности вероятностей (probability density function, PDF)?
Какому математическому понятию в теории вероятностей соответствует "плотность состояний".
Подскажите ссылки (рус. англ.), где об этом можно прочитать.

Из английской википедии https://en.wikipedia.org/wiki/Density_of_states математический смысл в плотности состояний не ясен:
* "плотность состояний (DOS) системы описывает количество состояний на каждый интервал энергии на каждом уровне энергии, который может быть занят. Он математически представлен распределением плотности и обычно является средним по пространственным и временным областям различных состояний, занятых системой." ("the density of states (DOS) of a system describes the number of states per interval of energy at each energy level available to be occupied. It is mathematically represented by a density distribution and it is generally an average over the space and time domains of the various states occupied by the system.")
* Произведением плотности состояний и функции плотности вероятности является число занятых состояний на единицу объема при заданной энергии для системы в тепловом равновесии.("The product of the density of states and the probability distribution function is the number of occupied states per unit volume at a given energy for a system in thermal equilibrium." )
* Здесь "probability distribution function" означает "pobability density function" (Плотность вероятности), а не "cumulative distribution function" (функция распределения).

Формула для вычисление средних величин (математических ожиданий) имеет вид

$$<A(E)>=\frac{\int^{\infty}_0 A(E) f(E) g(E) dE}{\int^{\infty}_0 f(E) g(E) dE},$$

где $f(E)$ - функция плотности вероятности и $f(E)$ - плотности состояний, $E$ - энергия,
на функция энергии (например, $A(E)=E$, $A(E)=(2mE)^{1/2}$, $A(E)=(2E/m)^{1/2}$).

Из формулы видно, что функцией распределения вероятностей это произведение $f(E) g(E)$

$$f_{new}(E)=\frac{f(E) g(E)}{\int^{\infty}_0 f(E) g(E) dE}.$$

Тогда

$$<A(E)>=\int^{\infty}_0 A(E) f_{new}(E) dE .$$

Физики перемудрили в математическом смысле?
Или в теории вероятностей "плотность состояний" чему то соответствует?

[arseniiv]

У вас проблемы с терминологией как минимум. Во-первых, теорвер часть математики, потому любое понятие теорвера — математическое, и можно ставить вопрос не о математическом смысле, а о, скажем, аналогиях из других разделов (однако их наличие будет скорее всего означать, что существует более общее понятие, к которому тогда и надо обратиться). Во-вторых, я открываю статью и вижу, что она о квантовомеханическом понятии. КМ можно считать разделом математики, но терминология в ней обычно физическая, и пояснения в самом начале страницы говорят, что ваша штука — это просто обычная плотность вероятности (которой вы её почему-то противопоставляете), просто в применении к распределениям по энергии.

Divergence в сообщении #1332072 писал(а):

Физики перемудрили в математическом смысле?

В том, что вы цитируете, видно, что у перемножаемых функций разные аргументы как минимум (и получается функция всех этих аргументов), и само предложение выражает, в общем-то, очевидную мысль.

[Divergence]

По вашему мнению $g(E)$ и $f(E)$ это плотности вероятностей"?
И при этом аргументы у низ различные: Один это энергия уровня состояния (s), а другой энергия частицы (p)?
И следует использовать $f_{new}(E_s,E_p)$?
А правильна ли тогда формула среднего?

[Red_Herring]

DS это также математическое понятие, но во многих случаях существование DS неясно, и математики имеют дело с IDS (Integrated Density of States)

Пример 1. Рассмотрим в $\mathbb{R}^d$ оператор $H=-\Delta +V(x)$, где $V(x)$ периодический потенциал с какой-то решеткой периодов; можно рассматривать также почти периодический потенциал. Тогда спектр непрерывен, но мы возьмем оператор $H_L$, на $LX$, где $0\in X$ ограниченная открытая область, $LX$ она же растянутая в $L$ раз, и на границе берем условия Дирихле (есть варианты). У этого оператора спектр дискретный, накапливается к $+\infty$. Пусть $N_L(\tau)$ число с.з. $H_L$, меньших $\tau$. Доказывается существование

$$ N(\tau) =\lim_{L\to +\infty} \frac{N_L(\tau)}{\operatorname{vol} (LX)} $$

и назовем его IDS (он не зависит от $X$); разумеется все это при каких-то предположениях. Если существует производная $N'(\tau)$, то она будет DS, но ее существование и ее вид это гораздо сложнее

Пример 2. Рассмотрим в $\mathbb{R}^d$ случайный оператор $H=-\Delta +V(x,\omega)$, где $\omega \in \Omega$ вероятностное пространство. Причем предположим "однородность": для каждого $y$ существует $T_y:\Omega\to \Omega$, сохраняющее вероятностную меру, т.ч. $V(x+y,\omega)= V(x,T_y(\omega))$. Тогда вводится $N(\tau,\omega)$ аналогично предыдущему, и опять таки при каких-то предположениях (основное: эргодичность $y\to T_y$) доказывается, что за исключением $\omega $ из множества меры $0$, результат от $N(\tau,\omega)=N(\tau)$, от $\omega$ не зависит. Далее по тексту выше.

[Divergence]

Спасибо за более формализованное описание.
Однако, отклоняясь от квантовой статистики и гамильтониана, дабы максимально упростить задаваемый вопрос, рассмотрим простейшую (классическую) дискретную модель: Есть дискретная цепочка $\mathbb{Z}$, некоторые значения $n \in \mathbb{Z}$ разрешены, а другие запрещены.
Плотность состояний $g(n)$ ($n \in \mathbb{Z}$) видимо можно рассматривать как множество "размешенных мест" на цепочке ($\mathbb{Z}$) , а функцию $f(n)$ некоторое распределение частиц по этим развешенным местам.
В этом случае аналогично квантовой статистике среднее видимо должны вычисляться по формуле

$$<A(n)>=\frac{\sum A(n) f(n) g(n) }{\sum f(n) g(n)},$$

а почему не так

$$f_{new}(n)=\frac{f(n) g(n)}{\sum f(n) g(n)}.$$

Тогда

$$<A(n)>=\sum A(n) f_{new}(n) .$$

Однако данной модели правильнее видимо рассматривать так: $g(n)$ - плотность распределения состояний, а $f(n)=f(n_p=n|n_s=n)$ - это наверное условная плотность вероятности (вероятность нахождения частицы в точке $n$, при условии что это точна является разрешенным местом)?
Но в этом случае, мы должны видимо использовать

$$f_{new,new}(n)=\sum_m f(n_p=n|n_s=m)g(n_s=m)?$$

И формула среднего тоже надо менять

$$<A(n)>=\sum_n A(n) \frac{f_{new,new}(n)}{\sum_m f_{new,new}(m)} ?$$

Какая из формул для вычисления является правильной?

Где ошибки в рассуждениях?
Если их нет, то почему аналогичное рассуждение не проходит для квантовой статистики и DOS по энергиям?

[Red_Herring]

Divergence в сообщении #1332091 писал(а):

рассмотрим простейшую (классическую) дискретную модель:

Тогда нельзя говорить о плотности. Плотность для абсолютно непрерывных с.в. (если не использовать обобщенные функции).

PS DS сначала придумали физики.

[Divergence]

Перепишем для непрерывного случая.

Дабы максимально упростить задаваемый вопрос, рассмотрим простейшую (классическую) непрерывную модель: Есть вещественная полуось $\mathbb{R}_+$, некоторые значения $x \in \mathbb{R}$ разрешены, а другие запрещены.
Плотность состояний $g(x)$ ($x \in \mathbb{R}_+$) видимо можно рассматривать как множество "размешенных мест" на оси $\mathbb{R}_+$, а функцию $f(x)$ некоторое распределение частиц по этим развешенным местам.
В этом случае аналогично квантовой статистике среднее видимо должны вычисляться по формуле

$$<A(n)>=\frac{\int^{\infty}_0 A(x) f(x) g(x) dx }{\int^{\infty}_0 f(x) g(x) dx}.$$

A почему не одним из следующих методов?
1) Первый метод: Определяем

$$f_{new}(x)=\frac{f(x) g(x)}{\int^{\infty}_0 f(x) g(x) dx}.$$

Тогда

$$<A(x)>=\int^{\infty}_0 A(x) f_{new}(x) dx .$$

2) Второй метод:
Для данной модели правильнее видимо рассматривать так: $g(x)$ - плотность распределения состояний, а $f(x)=f(x_p=x|x_s=x)$ - это наверное условная плотность вероятности (вероятность нахождения частицы в точке $x \in \mathbb{R}_+$, при условии что это точна является разрешенным местом)?
Но в этом случае, мы должны видимо использовать

$$f_{new,new}(x)=\int^{\infty}_0 f(x_p=x|x_s=y)g(x_s=y) dy?$$

$$N = \int^{\infty}_0 f_{new,new}(x) dx} .$$

И формула среднего тоже надо менять

$$<A(x)>=\frac{1}{N} \int^{\infty}_0 A(x) f_{new,new}(x) dx ?$$

3) Вопрос:
Какая из формул для вычисления является правильной?
Где ошибки в рассуждениях?
Если их нет, то почему аналогичное рассуждение не проходит для квантовой статистики и DOS по энергиям?

[arseniiv]

Divergence в сообщении #1332084 писал(а):

По вашему мнению $g(E)$ и $f(E)$ это плотности вероятностей"?
И при этом аргументы у них различные: Один это энергия уровня состояния (s), а другой энергия частицы (p)?
И следует использовать $f_{new}(E_s,E_p)$?

Не по-моему, а по указанной вами статье. И аргументом одной из них вообще не является, по тому же источнику, энергия, а являются координаты, время и что-то там ещё.

И да, плотности есть только у абсолютно непрерывных распределений, а в общем случае случайная величина есть сумма дискретной, абсолютно непрерывной и сингулярной (см. курсы теории вероятностей ). А в физике, насколько понимаю, даже сингулярные распределения иногда попадаются.

[Cos(x-pi/2)]

Divergence в сообщении #1332072 писал(а):

Физики перемудрили в математическом смысле?

(Пояснение DOS в квантовой физике на простом языке инженера-техника)

Рассмотрим систему частиц какого-то одного определённого сорта (в статистической физике так частенько начинается разбор задачек).

Пусть:

$k$ - нумерует возможные состояния одной частицы. Состояния могут быть заняты частицами, а могут быть и свободными. Частицы то заселяют, то освобождают состояния, так что количество частиц в данном состоянии $k$ флуктуирует.

$f_k$ - среднее число частиц в состоянии $k.$

$a_k$ - какая-либо аддитивная физическая величина, характеризующая одну частицу в состоянии $k.$ Аддитивная - здесь означает, что имеет смысл также суммарное по частицам значение $A$ этой физ. величины в системе. Тогда усреднённое по флуктуациям это суммарное значение $A$ в системе есть:

$\langle A \rangle = \sum \limits_k a_k f_k.$

Теперь вот ещё один очень важный момент: в физике часто бывает так, что $f_k$ зависит от $k$ не непосредственно, а через значения некоей величины $\varepsilon_k.$ (Обычно это энергия (или частота $\varepsilon_k/\hbar),$ свойственная состоянию $k.$ Зависимость $\varepsilon_k$ от $k,$ называемая в физике "спектром одночастичной энергии", не универсальна, она разная для разных сортов частиц.) При этом числа $f_k$ можно понимать как значения $f_k=f(\varepsilon_k)$ функции $f(\varepsilon),$ которая обычно описывается какой-то конкретной формулой при любых значениях своего аргумента $-\infty<\varepsilon<+\infty.$ И, аналогично, бывает так, что $a_k=a(\varepsilon_k)$ - значения функции $a(\varepsilon).$

В этих случаях выражение для $\langle A \rangle$ можем переписать так:

$\langle A \rangle = \sum \limits_k a(\varepsilon_k) f(\varepsilon_k)=\int\limits_{-\infty}^\infty \sum \limits_k \delta (\varepsilon -\varepsilon_k) \, a(\varepsilon) \, f(\varepsilon)\, d\varepsilon.$

Обозначим:

$ \sum \limits_k \delta (\varepsilon -\varepsilon_k)=g(\varepsilon).$

Тогда:

$\langle A \rangle =\int\limits_{-\infty}^\infty a(\varepsilon) f(\varepsilon)g(\varepsilon)\, d\varepsilon.$

Пример: у системы невзаимодействующих частиц энергия $E$ равна сумме энергий частиц, так что, положив $a(\varepsilon)=\varepsilon,$ имеем для усреднённой энергии системы формулу:

$\langle E \rangle =\int\limits_{-\infty}^\infty \varepsilon f(\varepsilon) g(\varepsilon)\, d\varepsilon.$

Ещё пример: положив $a(\varepsilon)=1,$ имеем формулу для числа частиц в системе:

$\langle N \rangle = \sum \limits_k f_k = \int\limits_{-\infty}^\infty f(\varepsilon) g(\varepsilon)\, d\varepsilon.$


Смысл введённой так функции $g(\varepsilon)$ виден из того, что если её проинтегрировать в каком-либо интервале $\Delta \varepsilon,$ то каждая $\delta$-функция, у которой $\varepsilon_k$ попадёт в интервал интегрирования, даст единицу, и сумма этих единиц равна, значит, числу состояний ("числу точек спектра $\varepsilon_k$ с учётом их кратности, если есть вырождение") в интервале $\Delta \varepsilon.$ "Густота" расположения точек $\varepsilon_k$ на шкале $\varepsilon$ может быть разной в разных местах шкалы; это зависит от конкретного модельного спектра $\varepsilon_k.$ Понятно, что при этом число состояний в интервале с фиксированной величиной $\Delta \varepsilon$ будет получаться разным в разных местах шкалы. Всё это и позволяет назвать функцию $g(\varepsilon)$ плотностью состояний на шкале одночастичной энергии $\varepsilon.$

Во многих случаях для практических вычислений её удаётся аппроксимировать более удобной, сглаженной функцией $g(\varepsilon),$ и тогда $g(\varepsilon)d\varepsilon$ можно понимать как физически разумным образом аппроксимированное число состояний в интервале от $\varepsilon$ до $\varepsilon+d\varepsilon.$ Тогда $f(\varepsilon)g(\varepsilon)d\varepsilon$ имеет смысл среднего числа частиц с одночастичными энергиями в этом интервале. Плотность состояний $g(\varepsilon)$ это характеристика конкретного спектра - она характеризует "густоту спектра" $\varepsilon_k$ на шкале $\varepsilon$ и больше ничего. Разумеется, в тех областях шкалы, которые не содержат значений $\varepsilon_k$ (например, в так называемых "запрещённых зонах"), следует полагать $g(\varepsilon)=0.$

Формула для $f(\varepsilon)$ может давать в "запрещённых зонах" ненулевые значения $f(\varepsilon),$ но это не беда. Они не влияют на расчёт, поскольку $g(\varepsilon)=0$ там, где нет состояний. И физ. смысла ненулевые значения $f(\varepsilon)$ в запрещённых зонах не имеют; физ. смысл имеют числа $f_k=f(\varepsilon_k).$



Комментарий о "вероятностной интерпретации" среднего числа частиц $f_k:$

Пусть $w_k(N)$ означает вероятность того, что в состоянии $k$ находится $N$ частиц. Тогда

$f_k=\sum \limits_{N=0}^\infty N\, w_k(N)$

Для частиц типа "фермионы" $w_k(N \ge 2)=0$ при всех $k,$ т.е. в каждом состоянии $k$ может оказаться только или $0$ частиц или $1$ частица. Тогда

$f_k=\sum \limits_{N=0}^\infty N\, w_k(N)=0 \cdot w_k(0)+1\cdot w_k(1)=w_k(1),$

т.е. в случае фермионов среднее число частиц в состоянии $k$ можно интерпретировать как вероятность того, что это состояние занято частицей.

В случае бозонов $N=0, \,1, \,2, \,...\, ,$ так что $f_k$ не является "вероятностью".

Только лишь в определённых условиях, когда вероятности многочастичного заселения состояний малы так, что членами с $w_k(N \ge 2)$ можно пренебречь по сравнению c $w_k(1),$ для бозонов выполняется приближённое равенство $f_k \approx w_k(1).$ (Такая ситуация может реализоваться, когда общее количество частиц очень мало по сравнению с количеством доступных для них состояний: тогда очень редко две или более частицы претендуют на то, чтобы заселить одно и то же квантовое состояние, и тем самым различие в характере заселённости состояний у бозонов и фермионов почти исчезает.)


Можно ли обобщить (и как, и будет ли обобщение иметь смысл) понятие "плотность состояний" на абстрактный "теорвер" вне достаточно конкретной задачи, я не знаю.

[Divergence]

Спасибо за подробный ответ. Однако он про физику, а вопрос по математику. А физики не всегда аккуратно используют математику. Вы написали лишь физические смысл для плотности состояний
"$g(\varepsilon)d\varepsilon$ можно понимать как физически разумным образом аппроксимированное число состояний в интервале."
"Плотность состояний $g(\varepsilon)$ это характеристика конкретного спектра - она характеризует "густоту спектра"
Это понятно.

Ваше "Можно ли обобщить (и как, и будет ли обобщение иметь смысл) понятие "плотность состояний" на абстрактный "теорвер" вне достаточно конкретной задачи, я не знаю."
А разве написанная мною "простейшая (классическая) непрерывная модель" не является конкретной физической задачкой.
И вопрос там встает (для меня) не абстрактный, а конкретный: какая из формул вычисления является правильной с математической точки зрения?
И каков смысл $g(\varepsilon)$ с этой точки зрения?

-- 14.08.2018, 14:41 --

arseniiv: Именно По Вашему мнению $g(E)$ и $f(E)$ это плотности вероятностей".
В той вики статье, $g(E)$ не может быть плотностью вероятнойстей, так как она ненормируемая:
$g(E)=a E^{1/2}$, где $E \in \mathbb{R}_+$ и интегрирование дает бесконечность.

[arseniiv]

Divergence в сообщении #1332429 писал(а):

Именно По Вашему мнению $g(E)$ и $f(E)$ это плотности вероятностей".

Я ничего сознательно не выдумывал. Если так угодно, можете считать, что я не умею читать.

[Cos(x-pi/2)]

Divergence в сообщении #1332429 писал(а):

А разве написанная мною "простейшая (классическая) непрерывная модель" не является конкретной физической задачкой. И вопрос там встает (для меня) не абстрактный, а конкретный: какая из формул вычисления является правильной с математической точки зрения? И каков смысл $g(\varepsilon)$ с этой точки зрения?

Divergence, раз уж Вы сами себе строите модели чего-то, то, думаю, никто лучше Вас самого не объяснит Вам смысл вводимых Вами функций и приемлемость разных вариантов ваших вычислений с ними. И если у Вас возникают вопросы по своей собственной модели, то, думаю, это во всяком случае не должно служить Вам поводом для фраз типа "физики не всегда аккуратно используют математику" или "физики перемудрили". Перемудрёности или неаккуратности физиков в данной теме пока не обнаружилось.

Если вернуться к самому началу, то на мой взгляд (извините, если я не прав, и, пожалуйста, не обижайтесь), Вы исходите из не вполне правильной трактовки формулы для $<A>$ в вашем стартовом сообщении, и эта ваша трактовка, насколько вижу, и породила дальнейшие ваши вопросы. Вы пишете, отталкиваясь, судя по вашей ссылке на статью в Википедии, от понятий "функция распределения $f(E)$ и плотность состояний $g(E) в физике:

Divergence в сообщении #1332072 писал(а):

Формула для вычисление средних величин (математических ожиданий) имеет вид

$$<A(E)>=\frac{\int^{\infty}_0 A(E) f(E) g(E) dE}{\int^{\infty}_0 f(E) g(E) dE},$$

где $f(E)$ - функция плотности вероятности и $f(E)$ - плотности состояний, $E$ - энергия,

Однако в физике такая формула используется вовсе не из соображений о "математическом ожидании" (и уже поэтому нет явных оснований пытаться приписывать "теорверовский" смысл входящим в неё величинам, в том числе - плотности состояний). Хотя формально ей можно придать вид "математического ожидания", формально введя в дело "плотность вероятности" $P(E)=\frac{f(E)g(E)}{\int f(E)g(E)\,dE},$ но выйдет, как говорится, похоже да не одно и то же.

На самом деле эта формула - комбинация двух формул, имеющих в статистической физике чёткий физ. смысл, и не имеющих вида "математического ожидания". Напишу их в форме, более логичной для пояснений: полагаю, одночастичные величины естественно обозначать маленькими буквами, а суммарные величины для системы частиц в целом - большими. Так что, вместо большой буквы $E$ для одночастичной энергии я бы предпочёл писать маленькую $\varepsilon,$ но уж чёрт с ней, пусть будет большая, как у Вас. А с буквой "А" поступлю так, как лучше по смыслу.

Вот первая формула (из двух); в ней по физическому смыслу существенно различаются $A$ и $a:$

$$\langle A \rangle = \int\limits_{-\infty}^\infty a(E)\, f(E) \, g(E)\, dE$$

Здесь $A$ есть суммарная для системы частиц величина (и, значит, она не зависит от энергии $E$ одной частицы), а имеющаяся под знаком интеграла величина $a(E)$ относится только к одной частице, с одночастичной энергией $E.$ Причём, $a(E)$ и $E$ - не являются случайными величинами (о случайных величинах в этом сюжете см. ниже). И ни $f(E)$ (в общем случае), ни $g(E),$ ни их произведение - не являются распределением вероятностей. Такой интеграл, - содержащий функции $a(E),$ $f(E),$ и $g(E),$ ни одна из которых не является ни случайной величиной, ни вероятностью, - не имеет вида "математического ожидания" для $A.$

Вот вторая аналогичная формула из физики, она даёт усреднённое количество $\langle N \rangle $ частиц в системе:

$$\langle N \rangle = \int\limits_{-\infty}^\infty f(E) \, g(E)\, dE$$

И вот, поделив суммарное для системы частиц значение $\langle A \rangle$ на усреднённое количество частиц $\langle N \rangle,$ мы получаем "величину $A,$ приходящуюся на одну частицу". Если определяемые так величины "в расчёте на одну частицу" обозначать тоже угловыми скобками, то итоговая формула запишется в виде:

$$\langle a \rangle=\frac{\langle A \rangle}{\langle N \rangle}=\frac{\int\limits_{-\infty}^\infty a(E)\, f(E) \, g(E)\, dE}{\int\limits_{-\infty}^\infty f(E) \, g(E)\, dE}$$

Как видим, по построению это не есть "математическое ожидание" для $a,$ а есть, образно говоря, "суммарная температура больных в больнице в расчёте на одного больного". В физике такие величины встречаются не потому, что физики - дураки, не понимающие настоящего "мат. ожидания", а потому, что подобные определения "средних в расчёте на одну частицу" успешно играют роль сокращённых выражений, заметно упрощающих громоздкие выкладки.



На всякий случай, ещё раз подробно поясню смысл интеграла для $\langle A \rangle $ в физике (аналогично обстоит дело и с интегралом для $\langle N \rangle).$ Этот интеграл представляет собой сумму одночастичных величин $a_k$ по всем занятым частицами одночастичным состояниям, пронумерованным мультииндексом $k$ (полным набором "квантовых чисел одночастичного состояния"), усреднённую по флуктуациям числа частиц в одночастичных состояниях:

$$\langle A \rangle = \sum \limits_k a_k f_k = \int\limits_{-\infty}^\infty a(E)\, f(E) \, g(E)\, dE$$

Отсюда виден математический смысл функции $g(E):$ говоря образно, плотность состояний $g$ играет роль "якобиана" преобразования от переменных суммирования, обозначенных здесь как $k$, к переменной интегрирования $E.$



Связь "с теорвером" (т.е. с понятиями случайной величины, распределения вероятностей, мат. ожидания и т.п.) можно пояснить так:

Для каждого состояния $k$ случайной величиной является число частиц $N_k$ в этом состоянии. Каждая заданная конфигурация заселения состояний описывается перечнем конкретных значений $N_k$ для всех $k.$ Конфигурациям соответствуют вероятности $W[N_0, N_1, \, ... \, ].$ Для каждого состояния $k$ вероятность $w_k(N_k)$ того, что состояние $k$ заселено $N_k$ частицами, получается из $W[N_0, N_1, \, ... \, ]$ суммированием по значениям числа частиц $0,1,2,\, ... \,$ для всех $N_0, N_1, \, ...\, ,$ кроме данного $N_k,$ (а если ещё и по нему просуммировать, то получится нормировочная единица). В системе с заданной конфигурацией заселения состояний суммарная величина $A$ есть

$$A[N_0, N_1, \, ... \, ]=\sum \limits_k a_k N_k$$

Усреднённое по флуктуациям числа частиц значение $\langle A \rangle$ определяется как математическое ожидание для $A[N_0, N_1, \, ... \, ],$ т.е. - суммированием произведения $A[N_0, N_1, \, ... \, ]\cdot w[N_0,\,N_1, \, ... \, ]$ по всем конфигурациям заселённости. Результат сводится к

$$\langle A \rangle =\sum \limits_k a_k \sum \limits_{N_k} N_k w_k(N_k).$$

Здесь само собой образовалось математическое ожидание для $N_k:$

$$\langle N_k \rangle = \sum \limits_{N_k} N_k w_k(N_k)=f_k $$

Оно имеет смысл среднего числа частиц в состоянии $k,$ обычно обозначается как $f_k,$ и называется в физике "функцией распределения" (частиц по состояниям). Вот так и получается формула

$$\langle A \rangle =\sum \limits_k a_k f_k.$$

Ну а в практических расчётах это неудобное суммирование по квантовым числам $k$ состояний мы преобразуем в обычное интегрирование по энергии состояний $E$, как уже говорилось, с помощью "якобиана преобразования" $g(E)$ - вот в этом и есть математический смысл плотности состояний.

[Divergence]

Спасибо за ваше подробное объяснения.

1. "Такой интеграл, - содержащий функции $a(E),$ $f(E),$ и $g(E),$ ни одна из которых не является ни случайной величиной, ни вероятностью, - не имеет вида "математического ожидания" для $A$" - согласен, так как $f(E),$ и $g(E),$ не нормированы. Однако де-факто энергия рассматривается как случайная величина.

2. "Как видим, по построению это не есть "математическое ожидание" для $a,$ а есть, образно говоря, "суммарная температура больных в больнице в расчёте на одного больного"." - не согласен, так как "суммарная температура больных в больнице в расчёте на одного больного" и есть средняя температура больного, то есть математическое ожидание. Кстати вы сами пишите "усреднённое количество $\langle N \rangle $ частиц в системе:". Помимо этого очевидно $\langle N \rangle =\langle A=1 \rangle $.
Фактически вы пытаетесь убедить, что вы вычисляете средние величины ("средних в расчёте на одну частицу"), не вычисляя средних величин. (математическое ожидание = средняя величина).

Ваши рассуждения аналогичны тому, как в техническом вузе определяют классическую одночастичную функцию распределения, через нормировку на число частиц.
См. Стр. 68-69ю http://www.kaf801.ru/news/filedata/2termodinamika.pdf
По моему не совсем верный способ.

3. Для определения величины "в расчёте на одну частицу" правильная методика заключается в использовании редуцированный (одночастичных) функций распределения (статистических операторов) и аддитивных динамических величин (см например Боголюбов, Боголюбов Введение в квантовую статистическую механику Глава 5 Параграф 2).

[g______d]

Divergence, я не могу ничего сказать про классику, но про случайные квантовые системы можете посмотреть на математически строгое изложение в разделе 9.2 книги Цикон, Фрёзе, Кирш, Саймон "Операторы Шрёдингера с приложениями к квантовой механике и глобальной геометрии".

Там вводится интегрированная плотность состояний (та же, которую описывал Red_Herring).

Математики предпочитают работать с интегрированной плотностью состояний, потому что она всегда существует. Во многих (но не во всех) моделях она будет абсолютно непрерывна, тогда можно рассматривать её производную и т. п.

Можете ещё сюда посмотреть, в контексте операторов Шрёдингера:

https://arxiv.org/pdf/1112.1716.pdf

[Divergence]

Спасибо за ссылку.
Не знал о ней. Хорошая ссылка.
Правда интересует максимальное упрощение, то есть "toy model" (игрушечная модель),
дабы лучше осознать понятие плотности состояний.

Cos(x-pi/2) в сообщении #1332512 писал(а):

Причём, $a(E)$ и $E$ - не являются случайными величинами (о случайных величинах в этом сюжете см. ниже)

Температура есть, значит состояние смешанное, и следовательно энергий принимает значения $E_k$ с некоторой вероятностью.