Задача из Демидовича. Диф. исч. №1263

[adoku]

Не могу понять какой смысл вкладывает автор учебника в задачу №1263: "Проверить, что функции $f(x)=\arctg \frac{1+x}{1-x}$ и $ g(x)=\arctg x $ имеют одинаковую производную в области $x<1$. "

Я могу найти производные и сравнить их $f'(x)=\left(\arctg \frac{1+x}{1-x}\right)'=\frac{1}{1+x^2} $ и $g'(x)=\frac{1}{1+x^2}$, но тогда какой смысл в условии $x<1?$
В антидемидовиче f(x) записали в виде $f(x)=\arctg \frac{x+a}{1-ax}$, а условие в виде $ax<1$, хотелось бы узнать с чем это связано.

[GAA]

А вы проверьте, имеет ли $f(x)$ производную в $x=1$.

-- Mon 13.08.2018 03:30:48 --

А вот функция $g(x)$ имеет производную в точке $x=1$.

-- Mon 13.08.2018 03:47:50 --

И Вы сформулировали только подзадачу 1). Есть ещё и 2): $x>1$.
И основная часть: «Вывести зависимость между этими функциями».
Посмотрев на 2) легко ответ на ум приходит.

[thething]

adoku в сообщении #1332094 писал(а):

тогда какой смысл в условии $x<1?$

Такой, что в определении производной участвует не только формула, но и область определения функции.

[adoku]

Мне понятно, что $D(f)=[-\infty,1)\cup(1,+\infty)$ и, что в т. $ x_0=1$ функция $f\qquad$ не определена, т.к. в этой точке разрыв 1-го рода. Сообразил (с помощью рисунка), что $f-\arctg(1)=g $ и, поэтому, для определения $f'$, можно взять производную от $(g-\arctg(1))'$, правильно же? А можно ли без функции $g$ определить $f'(x)$ для области $ x<1$?

[thething]

adoku в сообщении #1332106 писал(а):

А можно ли без функции $g$ определить $f'(x)$ для области $ x<1$?

Вопрос непонятен. Функция дифференцируема при $x<1$, следовательно, находИте производную по обычным правилам. Тут задача скорее о том, что обычно, когда написана только формула, человек бросается дифференцировать её, и радостно заключает, что производная совпала с другой известной производной. А на самом деле тут подвох.