Микстурные числа

[Ktina]

Натуральное число назовём микстурным, если оно равно сумме квадратов
пяти своих различных натуральных делителей. (К делителям числа причисляются
также единица и само число).

а) Обязано ли любое микстурное число делиться на 3?

б) А на 5?

в) Докажите, что существует бесконечно много микстурных чисел.

[Aritaborian]

Для начала отмечу, что замечание о причислении к делителям числа самого числа здесь лишнее.

[kotenok gav]

У меня такое ощущение, что микстурных чисел нет.

[Aritaborian]

kotenok gav, это ощущение на чём-то конкретном основано? (Сам уже пилю программу для числодробилки, но она никак не допиливается; чёртова жара замутняет мозг, хочется на озеро и плавать, а не вот это вот всё.)

[kotenok gav]

Вручную не получилось сделать такое число, на этом и основано

[Aritaborian]

Не, ну это не дело ;-( Я думал, вы программку на Питоне наваяли...

-- 11.08.2018, 12:58 --

So. Таки допилил, несмотря на неработающую голову. Видимо, спинной мозг помог. Как обычно, тупой перебор в лоб с одной-единственной оптимизацией (догадайтесь, какой ;-)

divisorsFivesSquaredTotals[n_] := Total /@ (Subsets[Most@Divisors[n], {5}]^2)
mixtureNumberQ[n_] := MemberQ[divisorsFivesSquaredTotals, n]
Select[Range[5 10^6], mixtureNumberQ]

Выходит, что до полумиллиарда микстурных чисел нет. При попытке обсчитать следующие полмиллиарда мой старенький лаптоп сказал, что тоже хочет на озеро плавать, а не вот это вот всё ;-(
В связи с этим вопрос к уважаемой Ktina: к чему были слова о делимости микстурных чисел на 3 и на 5 и о бесконечности этого множества? Или я тупо накосячил с программой, что вполне возможно.

[waxtep]

На $5$ необязательно: $2^3\cdot3^2\cdot7=1^2+2^2+3^2+7^2+(3\cdot7)^2$

[Aritaborian]

waxtep, это к чему?

[waxtep]

ну и любое $7\cdot8\cdot9\cdot n^2$ годится, вот и бесконечная серия

-- 11.08.2018, 15:20 --

Aritaborian в сообщении #1331775 писал(а):

waxtep, это к чему

Это пример микстурного числа $504$, равного сумме квадратов пяти своих различных натуральных делителей.

[Aritaborian]

Сразу бы и сказали, что это 504, которое соответствует, не нужно было бы из вас это вытягивать.
Тааак, ну и где у меня в программе ошибка?

[wrest]

Aritaborian
Первое такое число 150: [1, 2, 3, 6, 10] вот на нем и тестируйтесь :)
Певое которое не делится на 5: 264 [2, 4, 6, 8, 12]
Первое нечетное: 525 [1, 3, 5, 7, 21]
В скобках -- делители сумма квадратов которых равна числу.

[Aritaborian]

Да, одна из первых версий моего кода таки выдавала 150... В какую степь я ушёл с тех пор?

[Ktina]

Aritaborian в сообщении #1331746 писал(а):

Для начала отмечу, что замечание о причислении к делителям числа самого числа здесь лишнее.

Вы правы, но задача не совсем моя. Точнее, совсем не моя, она с олимпиады. Просто на олимпиаде речь шла о сумме квадратов трёх, а не пяти делителей. Но в олимпиадном варианте она была слишком уж лёгкой. Хотя и в этом она тоже нетрудная.

-- 11.08.2018, 15:55 --

Aritaborian в сообщении #1331752 писал(а):

kotenok gav, это ощущение на чём-то конкретном основано? (Сам уже пилю программу для числодробилки, но она никак не допиливается; чёртова жара замутняет мозг, хочется на озеро и плавать, а не вот это вот всё.)

Пункты а) и в) можно легко без всяких программ в уму решить.

-- 11.08.2018, 15:56 --

Оказывается, и пункт б) тоже

[wrest]

Ktina в сообщении #1331732 писал(а):

а) Обязано ли любое микстурное число делиться на 3?

Нет, необязательно: 350 [1, 2, 7, 10, 14]

И вот например 1064 [2, 4, 8, 14, 28] не делится ни на 3 ни на 5.

[grizzly]

wrest в сообщении #1331783 писал(а):

И вот например 1064 [2, 4, 8, 14, 28] не делится ни на 3 ни на 5.

А чтоб ещё с перламутровыми нечётное? :)