Коммутатор левоинвариантных векторных полей

[demolishka]

Решаю задачу: "Доказать, что коммутатор двух левоинвариантных векторных полей тоже является левоинвариантным". Вопрос задам в конце.

Пусть $\mathbb{G}$ есть группа Ли (мультипликативная группа со структурой $C^{\infty}$-гладкого $n$-мерного многообразия, уважающей групповую операцию). Левый сдвиг обозначается как $L_{g}$, $L_{g}h=gh$. Векторное поле $\eta$ называется левоинвариантными, если

$$(\eta \circ L_{g})(h) = (d_{h}L_{g}) \eta(h), \text{для всех } h, g \in \mathbb{G}.$$

Можно заполучить утверждение задачи из общего факта: коммутатор $\varphi$-связанных векторных полей является $\varphi$-связанным. Действительно, левоинвариантность означает, что поле $\eta$ $L_{g}$-связано с собой для любого $g \in \mathbb{G}.$ Но я пошел несколько иным путем.

Касательные векторы --- дифференцирования алгебры ростков гладких функций на $\mathbb{G}$. Вроде получилось обнаружить и доказать следующую лемму.

Лемма. Векторное поле $\eta$ левоинвариантно тогда и только тогда, когда равенство

$$\eta(f \circ L_{g}) = (\eta f) \circ L_{g}$$

выполнено для любой гладкой функции $f$ и $g \in \mathbb{G}$.

Доказательство.
Приведем общую конструкцию. Пусть $g$ и $h$ фиксированы. Рассмотрим координаты $(x^{1},\ldots,x^{n}) \in D$ в окрестности $U$ точки $h$ и координаты $(y^{1},\ldots,y^{n})\in D$ в окрестности $V=L_{g}(U)$ точки $gh$, индуцированные диффеоморфизмом $L_{g}$. Таким образом, $L_{g}$ в этих координатах действует тождественно: $L_{g}(x^{1},\ldots,x^{n})=(x^{1},\ldots,x^{n})=:(y^{1},\ldots,y^{n})$. Пусть $\eta(x)=\eta^{i}(x)\frac{\partial}{\partial x^{i}}$ и $\eta(y)=\eta^{i}(y)\frac{\partial}{\partial y^{i}}$ --- векторное поле $\eta$ в соответствующих координатах. Следует различать $\eta^{i}(x)$ и $\eta^{i}(y)$, несмотря на то, что $y=L_{g}x=x$.

$\Rightarrow$ Рассмотрим функцию $g(x)=(f \circ L_{g})(x)$. Имеем

$$(\eta g)(x)=\eta^{i}(x)\frac{\partial g}{\partial x^{i}}.$$

По условию для $x=L_{g}y$, $\eta(y)=(\eta^{1}(y),\ldots,\eta^{n}(y))^{T} = d_{x}L_{g} \eta(x) = \eta(x)=(\eta^{1}(x),\ldots,\eta^{n}(x))^{T}$. По правилу цепочки, $\frac{\partial g}{\partial x^{i}}(x) = 1 \cdot \frac{\partial f}{\partial y^{i}}(y)$ Тогда

$$(\eta g)(x)=\eta^{i}(x)\frac{\partial g}{\partial x^{i}}(x)=\eta^{i}(y)\frac{\partial f}{\partial y^{i}}(y)=(\eta f)(L_{g}x),$$

что и требовалось.

$\Leftarrow$ Надо показать, что $\eta^{i}(x) = \eta^{i}(y)$, для $y = L_{g}x =x$. Рассмотрим функцию $g(x)=(f \circ L_{g})(x)$. Из условия знаем, что

$$(\eta g)(x) = \eta^{i}(x)\frac{\partial g}{\partial x^{i}}(x)=\eta^{i}(y)\frac{\partial f}{\partial y^{i}}(y).$$

По цепному правилу, $\frac{\partial g}{\partial x^{i}}=1 \cdot \frac{\partial f}{\partial y^{i}}(y)$. Откуда

$$(\eta^{i}(x)-\eta^{i}(y))\frac{\partial f}{\partial y^{i}}(y)=0.$$

Выберем $f$ так, чтобы в координатах выполнялось $f(y)=y^{i}$. Тогда $\eta^{i}(x)=\eta^{i}(y)$. Что и требовалось.

Из леммы доказательство исходного утверждения получается совсем просто:

$$[\xi,\zeta] (f \circ L_{g}) = \xi \zeta(f \circ L_{g}) - \zeta \xi (f \circ L_{g}) = \xi\left( (\zeta f) \circ L_{g}\right) - \zeta \left( (\xi f) \circ L_{g} \right)=(\xi\zeta f) \circ L_{g} - (\zeta\xi f) \circ L_{g}=\left( [\xi,\zeta]f \right) \circ L_{g}.$$

Вопрос. Верна ли лемма и ее доказательство?

[пианист]

demolishka в сообщении #1331476 писал(а):

Рассмотрим координаты $(x^{1},\ldots,x^{n}) \in D$ в окрестности $U$ точки $h$ и координаты $(y^{1},\ldots,y^{n})\in D$ в окрестности $V=L_{g}(U)$ точки $gh$, индуцированные диффеоморфизмом $L_{g}$. Таким образом, $L_{g}$ в этих координатах действует тождественно: $L_{g}(x^{1},\ldots,x^{n})=(x^{1},\ldots,x^{n})=:(y^{1},\ldots,y^{n})$.

Можно это место поподробнее?
Это что за такие координаты?

[pogulyat_vyshel]

demolishka в сообщении #1331476 писал(а):

Доказать, что коммутатор двух левоинвариантных векторных полей тоже является левоинвариантным"

следствие стандартного общего факта: если $f$ -- (локальный) диффеоморфизм то $f_*[u,v]=[f_* u,f_* v]$

[demolishka]

пианист в сообщении #1331531 писал(а):

Можно это место поподробнее?
Это что за такие координаты?

Пусть $\widetilde{h} \in U$. Тогда у точки $\widetilde{g}=L_{g}\widetilde{h}=g\widetilde{h}$ такие же (по величине, буква другая) координаты как и у $\widetilde{h}$. Ну можно в отображениях расписать: $y(\widetilde{g}):=x(L^{-1}_{g}\widetilde{g})$. Это просто конструктивная, в данном случае, версия теоремы о ранге.

pogulyat_vyshel в сообщении #1331539 писал(а):

следствие стандартного общего факта: если $f$ -- (локальный) диффеоморфизм то $f_*[u,v]=[f_* u,f_* v]$

Ну это из оперы

demolishka в сообщении #1331476 писал(а):

коммутатор $\varphi$-связанных векторных полей является $\varphi$-связанным.

В данном случае мне хотелось чего-то более конкретного, чтобы лучше прочувствовать эти объекты.

Странно, но мне не удалось найти подобного описания левоинвариантности в терминах функций. Что-то похожее есть на википедии:

Цитата:

Векторное поле на группе Ли G называется левоинвариантным, если оно коммутирует с левыми сдвигами, то есть

$V(l_{g}^* f) = l_{g}^* (Vf)$ для всех $g$ из $G$, и любой дифференцируемой функции $f$.

Если я правильно понимаю, то на функцию, т. е. на $0$-форму, действие "сопряженного оператора" определяется как $l^{*}_{g} f = f \circ l_{g}$. Тогда эта формула в точности моя.

[pogulyat_vyshel]

demolishka в сообщении #1331631 писал(а):

В данном случае мне хотелось чего-то более конкретного, чтобы лучше прочувствовать эти объекты.

куда уж конкретней. ну введите локальные координаты на многообразии и тупым вычислением проверьте эту формулу если хотите прочувствовать

-- 10.08.2018, 18:50 --

эта формула, как я уже сказал, есть общий факт про гладкие многообразия, это даже не вопрос теории групп Ли

[пианист]

Если речь о разных системах координат, почему поле имеет одинаковые компоненты?

Насчет прочувствовать - присоединяюсь к pogulyat_vyshel. Или гляньте в книжке Понтрягина.

[demolishka]

pogulyat_vyshel в сообщении #1331650 писал(а):

эта формула, как я уже сказал, есть общий факт про гладкие многообразия, это даже не вопрос теории групп Ли

У меня к этой формуле особых вопросов нет. Вопрос-то был касательно предложенной леммы, характеризующей левоинвариантные векторные поля в терминах гладких функций, и про "прочувствовать" было также в сторону левоинвариантных векторных полей. А чтобы прочувствовать векторное поле, надо посмотреть как оно действует на гладкие функции.

пианист в сообщении #1331654 писал(а):

Если речь о разных системах координат, почему поле имеет одинаковые компоненты?

В том-то и дело, что компоненты поля, вообще говоря, разные.

demolishka в сообщении #1331476 писал(а):

Следует различать $\eta^{i}(x)$ и $\eta^{i}(y)$, несмотря на то, что $y=L_{g}x=x$.

То что они в одну сторону, на самом деле, совпадают в силу левоинвариантности, а в другую сторону это нужно доказать, это уже специфика задачи.

Это ведь также как и при рассмотрении функции $f$ в координатах $x$ я буду писать $f(x)=f(x^{1},\ldots,x^{n})$, а для функции $f$ в координатах $y$ я буду писать $f(y)=f(y^{1},\ldots,y^{n})$, то же самое я делаю и с векторным полем. Это ведь стандартная удобная геометрическая запись, разве нет? То что там какие-то $x$ и $y$ по величине могут совпадать совершенно не означает, что выполнено $f(x)=f(y)$, потому что слева и справа стоят разные объекты.

[pogulyat_vyshel]

demolishka в сообщении #1331658 писал(а):

У меня к этой формуле особых вопросов нет. Вопрос-то был касательно предложенной леммы,

а в чем проблема то тогда? подставьте в эту формулу вместо $f$ левый сдвиг и будет вам лемма

demolishka в сообщении #1331658 писал(а):

А чтобы прочувствовать векторное поле, надо посмотреть как оно действует на гладкие функции.

ну это понятно, конечно элементарное вычисление в координатах выглядит не так пафосно, как рассуждение в инвариантных терминах. Студенты любят пафосность.Вот вы там уже накатали страницу текста по вопросу, который выеденного яйца не стоит. Вот хорошо, большая наука, значки красивые.

[demolishka]

pogulyat_vyshel в сообщении #1331666 писал(а):

ну это понятно, конечно элементарное вычисление в координатах выглядит не так пафосно, как рассуждение в инвариантных терминах. Студенты любят пафосность.Вот вы там уже накатали страницу текста по вопросу, который выеденного яйца не стоит. Вот хорошо, большая наука, значки красивые.

(Оффтоп)

Пожалуй соглашусь со всем, но только по отдельности. Да и ко мне это вряд ли имеет отношение. Я это дело изучаю чисто для себя, а мой подход к обучению строится на том, что сначала надо с минимумом знаний об объекте и методов работы с ним попытаться чего-нибудь подоказывать о его свойствах, подойти к тем или иным фактам с разных сторон (в данном случае - и на инвариантном, и на координатном языке), наизобретать велосипедов, а потом заглянуть в книгу и понять, как "правильно" преодолеваются возникшие трудности и чего еще тут может быть. Здесь получается не только прочувствовать объект, но и обнаружить старые/новые особенности собственного мышления.

К тому же обсудили мы все-таки куда больше исходного вопроса и это именно то, почему я сюда пишу.

Что касается моего исходного вопроса

demolishka в сообщении #1331476 писал(а):

Верна ли лемма

Верна и была бы совершенно очевидна из определения левоинвариантности, если бы я не забыл полезный факт: $(d\varphi(\xi))(f)=\xi(f\circ \varphi)$.

[пианист]

demolishka
Т.е. вопрос снят;)?

[demolishka]

пианист, снят
большое спасибо Вам и pogulyat_vyshel за дискуссию.