Что известно о структуре универсума?

[Qlin]

Существует ли минимальная интерпретация класса всех множеств, которая включается во все прочие интерпретации? Что известно о внутренней структуре универсума? Можно ли провести какую-либо классификацию его элементов?

[Someone]

Qlin в сообщении #1329378 писал(а):

Существует ли минимальная интерпретация класса всех множеств, которая включается во все прочие интерпретации?

Собственно, мне не ясно, что означают слова "минимальная интерпретация". Например, если имеется какая-то модель ZF, то можно рассмотреть в ней класс конструктивных (по Гёделю) множеств. Это будет наименьшая подмодель, содержащая все ординалы. В ней будут выполняться аксиома выбора и обобщённая континуум-гипотеза. Но можно построить счётную модель ZFC. Она меньше предыдущей или не меньше?

[Qlin]

Someone в сообщении #1329387 писал(а):

Собственно, мне не ясно, что означают слова "минимальная интерпретация".

Эти слова означают именно то, что было написано: включается во все прочие интерпретации.

Someone в сообщении #1329387 писал(а):

если имеется какая-то модель ZF

Какая именно? В частности, счетная она или нет?

Someone в сообщении #1329387 писал(а):

Но можно построить счётную модель ZFC.

Какую именно? Если вы неявно подразумевали, будто можно построить только одну счетную модель, то это неверно.

Someone в сообщении #1329387 писал(а):

Это будет наименьшая подмодель, содержащая все ординалы.

В какой метатеории?

Someone в сообщении #1329387 писал(а):

Она меньше предыдущей или не меньше?

Вопрос очевидно некорректный. А предыдущая строится на основе чего?

[Someone]

Qlin в сообщении #1331226 писал(а):

Someone в сообщении #1329387 писал(а):

Собственно, мне не ясно, что означают слова "минимальная интерпретация".

Эти слова означают именно то, что было написано: включается во все прочие интерпретации.

Очевидно, что такой не существует. Или, может быть, я опять неправильно понял, что значит "включается"?

Qlin в сообщении #1331226 писал(а):

Someone в сообщении #1329387 писал(а):

если имеется какая-то модель ZF

Какая именно? В частности, счетная она или нет?

Без разницы.

Qlin в сообщении #1331226 писал(а):

Someone в сообщении #1329387 писал(а):

Но можно построить счётную модель ZFC.

Какую именно? Если вы неявно подразумевали, будто можно построить только одну счетную модель, то это неверно.

Откуда следует, что я это подразумевал?

Qlin в сообщении #1331226 писал(а):

Someone в сообщении #1329387 писал(а):

Это будет наименьшая подмодель, содержащая все ординалы.

В какой метатеории?

Без разницы. Речь идёт об ординалах той модели ZF, про которую было сказано

Someone в сообщении #1329387 писал(а):

если имеется какая-то модель ZF

Qlin в сообщении #1331226 писал(а):

Someone в сообщении #1329387 писал(а):

Она меньше предыдущей или не меньше?

Вопрос очевидно некорректный. А предыдущая строится на основе чего?

Ну, Вы же как-то сравниваете разные модели, раз говорите о "минимальной".

[Qlin]

Someone в сообщении #1331240 писал(а):

Очевидно, что такой не существует. Или, может быть, я опять неправильно понял, что значит "включается"?

Существует ли модель теории множеств, являющаяся подмоделью всех прочих?

[Someone]

Qlin в сообщении #1331291 писал(а):

Someone в сообщении #1331240 писал(а):

Очевидно, что такой не существует. Или, может быть, я опять неправильно понял, что значит "включается"?

Существует ли модель теории множеств, являющаяся подмоделью всех прочих?

Видимо, лучше сказать "изоморфна подмодели любой модели", поскольку вполне представляю себе модели, заданные на непересекающихся множествах. И, может быть, ещё лучше было бы спросить про минимальную (по включению) подмодель заданной модели.

Честно сказать, никогда такими вопросами не интересовался. Но сильно сомневаюсь в существовании минимальной подмодели.

В принципе, на роль минимальной подмодели мог бы претендовать конструктивный универсум, но там есть оговорка насчёт ординалов: он даёт минимальную подмодель, содержащую все ординалы.

Может быть, на вашу тему обратит внимание кто-нибудь из специалистов именно в области теории моделей.

[Qlin]

Someone в сообщении #1331439 писал(а):

Видимо, лучше сказать "изоморфна подмодели любой модели", поскольку вполне представляю себе модели, заданные на непересекающихся множествах.

Да, разумеется.

Someone в сообщении #1331439 писал(а):

там есть оговорка насчёт ординалов: он даёт минимальную подмодель, содержащую все ординалы.

Думаю, метод доказательства может быть следующий: если исключить несколько ординалов, модель может оказаться либо незамкнутой относительно основных определимых теоретико-множественных операций, либо нарушатся те или иные аксиомы теории множеств.

[Someone]

Qlin в сообщении #1331442 писал(а):

модель может оказаться либо незамкнутой относительно основных определимых теоретико-множественных операций

Теоретико-множественные операции определены аксиоматикой, модель обязана быть замкнута относительно этих операций. Другое дело, что в подмодели эти операции могут отличаться от соответствующих операций в исходной модели. В особенности множество подмножеств. Кстати, и мощности множеств в модели и в подмодели могут существенно отличаться.