Сумма чисел, являющаяся степенью каждого из них

[Ktina]

Для всякого ли $n\in\mathbb{N}$ существуют $n$ попарно различных целых чисел, сумма которых является степенью (с натуральным показателем) каждого из них?

Для каждого из нечётных $n\in\mathbb{N}$ пример строится легко.
А вот с чётными что-то не получается. Может, нельзя? Или это только мне трудно?

Наведите, пожалуйста, на мысль.

[wrest]

Ktina в сообщении #1331294 писал(а):

сумма которых является степенью (с натуральным показателем) каждого из них?

Поменьше местоимений юзайте, а то опять не ясно кто стоял на каждом из них ком.

[Ktina]

wrest
Сумма всех чисел является степенью каждого из чисел.
Так понятнее?

[starper]

Для чётных $n\inN$ не существует таких чисел. Предлагаю такое доказательство:
Выберем из суммы попарно различных целых чисел наибольшее число $a$. Докажем, что при $p\geqslant2$, $a^p$ больше нашей суммы. Так как $a$ наибольшее целое число, то все числа суммы $n$ чисел представимы в виде $a-t_i$, где $t_i$ - неотрицательные целые числа. Тогда имеет место такое соотношение $a^p>na-\sum\limits_{1}^{n}t_i$. Соотношение верно, так как при $a-t_i$>0 $a\geqslant$n$, а значит правая часть неравенства меньше $a^2$ При наличии среди $a-t_i$ $g$ неположительных целых чисел неравенство принимает следующий вид:
$a^p>(n-g)a-\sum\limits_{1}^{n}t_i$. $n-g\leqslant a$, значит левая часть меньше $a^2$.
Далее докажем, что при $p=1$ условия задачи также не выполнимы. Чтобы тождество $a^1=na-\sum\limits_{1}^{n}t_i$ выполнялось, необходимо, чтобы сумма всех $n-1$ чисел кроме $a$ обращалась в 0. По условию нужно, чтобы данная сумма, которая равна $a$ являлась степенью всех $n-1$ чисел, а это возможно только тогда, когда каждое из $n-1$ чисел являются степенями некоторых чисел $m$ и $-m$. Так как $n$ - четное число, то $n-1$ - нечетное, а значит найдется некоторое наибольшее по модулю число $b$, которое является степенью чисел $m$ или $-m$. Сумма $n-1$ чисел примет знак этого числа $b$, так как модуль числа в некоторой степени $k$ больше модуля суммы степеней ниже $k$ этого числа, а значит сумма $n-1$ чисел при четных $n$ не обращается в 0, и, соответственно, тождество $a^p=na-\sum\limits_{1}^{n}t_i$ не выполняется при $p=1$, а значит и для всех натуральных показателей $p$ при четных $n$ оно не выполняется, ч. т. д.

[Ktina]

starper
Большое спасибо!

-- 09.08.2018, 09:47 --

Меня пугает контраст между чётными и нечётными, ведь для нечётных примеры строятся совсем легко. Скажем, для пяти чисел:
-4, -2, 2, 4, 16.

[starper]

Ktina
При нечётном $n$ можно построить сумму из $n-1$ чисел, которая обращается в 0, а каждое из $n$ чисел является степенью некоторых $m$ и $-m$, а степень этих $m$ и $-m$ является в свою очередь степенью двойки. Например, в вашем примере: $-2^1$+2^1+2^2-2^2+2^2+2^4=2^4$
Так для любого нечётного $n$ строится сумма