Гипотеза, предлагающая меньший интервал

[Soul Friend]

похоже, есть ещё один корень:

$$\pi(1001000000000000000)\approx\frac{x}{(\ln(x)-\sqrt{\pi+1808.363954625362})\ln(x)}+\frac{x}{\ln(x)}\approx2476408146762306 \,;$$

комплексная плоскость и мнимые числа замешаны в этом?

[vorvalm]

Soul Friend в сообщении #1331139 писал(а):

похоже, есть ещё один корень:

Попробуйте использовать формулу

$\pi(x^n)\sim\frac{x^{n-1}}{n}\pi(x)$

[Yadryara]

Soul Friend, оба раза вычисления проведены с ошибками. Особенно последнее. См. Альфу 1, 2.

[Soul Friend]

Yadryara
Спасибо.

[Dmitriy40]

Soul Friend
Снова проверим Вашу первую формулу (первое число по вашей формуле, второе точное, ну и погрешность):

? \p 50
   realprecision = 57 significant digits (50 digits displayed)
? f(x)=x/log(x)*(1+1/(log(x)-sqrt(Pi+1.075892528555)));
? for(n=1,#pr,printf("10^%2d: %25d vs %25d = %+12.6f%%\n",n,round(f(10^n)),pr[n],(round(f(10^n))/pr[n]-1)*100))
10^ 1:                        22 vs                         4 =  +450.000000%
10^ 2:                        30 vs                        25 =   +20.000000%
10^ 3:                       175 vs                       168 =    +4.166667%
10^ 4:                      1237 vs                      1229 =    +0.650936%
10^ 5:                      9604 vs                      9592 =    +0.125104%
10^ 6:                     78536 vs                     78498 =    +0.048409%
10^ 7:                    664533 vs                    664579 =    -0.006922%
10^ 8:                   5760365 vs                   5761455 =    -0.018919%
10^ 9:                  50839621 vs                  50847534 =    -0.015562%
10^10:                 455002586 vs                 455052511 =    -0.010971%
10^11:                4117762942 vs                4118054813 =    -0.007088%
10^12:               37606176684 vs               37607912018 =    -0.004614%
10^13:              346055218671 vs              346065536839 =    -0.002982%
10^14:             3204881521148 vs             3204941750802 =    -0.001879%
10^15:            29844233870158 vs            29844570422669 =    -0.001128%
10^16:           279236635855531 vs           279238341033925 =    -0.000611%
10^17:          2623550562629992 vs          2623557157654233 =    -0.000251%
10^18:         24739954264914139 vs         24739954287740860 =    -0.000000%
10^19:        234058079164767485 vs        234057667276344607 =    +0.000176%
10^20:       2220826242246353486 vs       2220819602560918840 =    +0.000299%
10^21:      21127350648098965256 vs      21127269486018731928 =    +0.000384%
10^22:     201468177391571060273 vs     201467286689315906290 =    +0.000442%
10^23:    1925329638880992166145 vs    1925320391606803968923 =    +0.000480%

Хорошо видна подгонка под ответ (около $10^{18}$), и что ничем хорошим она не кончается.
Как Вы не поймёте что подбором одной константы вполне можно занулить ошибку, но лишь в окрестности одной точки, при удалении от которой в обе стороны погрешность будет расти.

Может Вы всё же опишете прямо что Вы хотите в этой теме обсудить и получить? Точную в одной точке формулу? Более-менее точную формулу на каком-то интервале? На каком? С какой погрешностью? Более-менее простую формулу, лучшую чем $x/\ln x$? Где лучшую, в одной точке, на интервале, на бесконечности? Подбором функциональной зависимости и параметров можно заниматься долго, цель то какова?

PS. Ну и моё ИМХО: подбор цифирек для получения хорошей точности в диапазоне до $10^{30..50}$ без соответствующей теории за этими формулами и константами малоинтересен, всё это делается для аппроксимации $\pi(x)$ дальше, сильно дальше, чтобы понять как она себя ведёт при увеличении чисел туда, где точные её значения неизвестны и вряд ли мы их получим в обозримом будущем.

[grizzly]

Dmitriy40 в сообщении #1331176 писал(а):

сильно дальше, чтобы понять как она себя ведёт при увеличении чисел туда, где точные её значения неизвестны и вряд ли мы их получим в обозримом будущем.

И ведь на всех интервалах, которые мы способны наблюдать, простые числа распределены всё реже и реже по сравнению с началом ряда. Например, в первой тысяче простых больше, чем во второй, третьей и т.д.; в первом гуголлионе -- больше чем во втором, третьем и т.д.

Но ведь когда-то это должно закончиться. Когда-то, по идее, появится такой тьма-ллион, что во втором тьма-ллионе простых будет больше, чем в первом. (upd. см. ниже) Никогда мы руками это не сможем посмотреть, но вот понять, как это так может получиться, как оно там всё устроено -- чертовски интересно!

[Soul Friend]

Dmitriy40
Спасибо за code, пригодится.
Хотел прояснить то что вы сказали. Думаю, лучшая апроксимация у формулы в топике на который я ранее ссылался, на ней и остановлюсь. Тему можно закрывать.

(я делал это не разбираясь ни в логарифмах, ни в экспоненциальном росте, что нельзя, конечно, делать. Зато появилось некоторое понимание.)

[Dmitriy40]

grizzly в сообщении #1331180 писал(а):

Но ведь когда-то это должно закончиться. Когда-то, по идее, появится такой тьма-ллион, что во втором тьма-ллионе простых будет больше, чем в первом.

Это ещё почему?! Плотность падает, с чего вдруг ей расти (исключая локальные флуктуации)? Вроде бы доказательство бесконечности даже простых близнецов (а пока доказано лишь для шага в 216 кажется вместо 2) не влечёт за собой рост плотности. В общем не верю, плотность так и будет падать (и что-то мне подсказывает что это даже доказано, правда не могу вспомнить где найти).

Soul Friend в сообщении #1331181 писал(а):

Спасибо за code, пригодится.

Да что там в этом коде, ничего интересного. Точные цифры взял по известной ссылке, там куча полезных таблиц, причём, если я правильно понимаю, большинство из них получено прямым расчётом (и указано какие перепроверены), без всяких аппроксимаций и интерполяций, в чём их и ценность.

[grizzly]

Dmitriy40 в сообщении #1331186 писал(а):

правда не могу вспомнить где найти

Я это всё неправильно написал. Нужно было так: в каком-нибудь гуголлион первом миллионе чисел простых будет больше, чем в первом миллионе. А так, как я написал, конечно, неправильно.

Это нужно смотреть гипотезы Харди--Литлвуда, первую и вторую, и обращать внимание на то, что эти гипотезы противоречат друг другу и что большинство математиков уверены, что первая гипотеза верна, а не вторая.

[Soul Friend]

не могу запустить ваш код, пока не гуру в pari/gp.
вот коэффициент для $10^{19}$ ; 1.06303419966.
Просто интересно, насколько будут отличатся процентные соотношения. Будет ли стабильность?
Можно ли будет вычислить следующий коэффициент по показаниям предыдущей?

[Dmitriy40]

grizzly
Ну, если будет такой островок стабильности ядер кучкования простых, то это конечно безумно интересно (хотя всё равно не верю что такое существует). Но если он один, то это скорее такая сверхбольшая случайная флуктуация (конечно причины в любом случае интересны). Вот если же они пойдут косяками ... Появится много вопросов к теории чисел (не знаю к какому именно подразделу).

Soul Friend в сообщении #1331203 писал(а):

не могу запустить ваш код,

Может потому что я не привёл содержимое массива pr, который показывается в третьей колонке, хотя позже и сказал откуда его взял:

? pr = [4, 25, 168, 1229, 9592, 78498, 664579, 5761455, 50847534, 455052511, 4118054813, 37607912018, 346065536839, 3204941750802, 29844570422669, 279238341033925, 2623557157654233, 24739954287740860, 234057667276344607, 2220819602560918840, 21127269486018731928, 201467286689315906290, 1925320391606803968923];

-- 08.08.2018, 17:48 --

Soul Friend
Учитывая что из формулы

$$\frac{x}{\ln x}\cdot\left(1+\frac{1}{\ln x - \sqrt{a}}\right)=C$$

достаточно просто получить формулу $a(x,C)$ я не понимаю проблемы подобрать/посчитать коэффициент $a$ для одной любой комбинации $x$ и $C$.
А программа primecount, ссылка на которую есть на странице куда Вы сами ссылались, выдаёт более-менее надёжные данные для $\pi(x)$ и до $x\le10^{31}$.

[Soul Friend]

pari не хочет вычислять: the sequence is evaluated, X going from a up to b. if b is set to +infinity, the loop will not stop.

#pr не правильно задал возможно. я просто сделал копипаст отсюда и всё.

p:s. ошибся, скопировал со знаком вопроса.

[grizzly]

Dmitriy40 в сообщении #1331207 писал(а):

Вот если же они пойдут косяками ...

Конечно косяками, и конечно бесконечными

[Sonic86]

Soul Friend в сообщении #1330981 писал(а):

пока что смог упростить до:

$$Sf_2(x)=\frac{x}{(\ln(x)-\ln(10))\ln(x)}+\frac{x}{\ln(x)}$$

Soul Friend, Вы чего пытаетесь, аппроксимировать $\pi(x)$?
Если да, выучите сначала матчасть: из гипотезы Римана следует оценка

$$\left|\pi(x)-\int\limits_2^x\frac{dt}{\ln t}\right| \leqslant \frac{\sqrt{x}\ln x}{8\pi}, \ \ x\geqslant x_0$$

Отсюда следует, что обертывающий асимптотический ряд для $\pi(x)$ - это разложение интегрального логарифма в асимптотический ряд:

$$\pi(x)\sim \frac{x}{\ln x}\left(1+\frac{1!}{\ln^1 x}+\frac{2!}{\ln^2 x}+\frac{3!}{\ln^3 x}+...\right)$$

Обертывающий асимптотический ряд единственный, если он существует (что очевидно). Т.е. любые попытки найти другую асимптотику априори либо ошибочны, либо дадут то же самое.

Напишите, чего Вы хотите. Или придется жаловаться модераторам.

[Soul Friend]

(Оффтоп)

Sonic86
Спасибо за пояснения, ранее я уже писал что тема закрыта. Оставляю $\pi$ в покое (без аппроксимации).