Разложение в ряд Маклорена

[Tiberium]

Здравствуйте!

Многократно приходилось применять разложение элементарных функций в степенные ряды при вычислении пределов и не только, но, к сожалению, не все действия, которые совершались на автомате, мне понятны.

Скорее всего, опять застопорился на ровном месте, но как формально обосновать то, что мы можем разложить функцию $e^{x^2}$ в степенной ряд, подставив в разложение $e^{x}$ $x^2$ вместо $x$?

В учебниках обычно пишут что-то типа "Возьмем $ x^2$ за $t$ и подставим... но уже $e^{x^2+1}$ так разложить, естественно нельзя - выносим $e$ и умножаем на известное разложение.

Тут вопрос из разряда "я знаю, что это так, пользуюсь этим знанием, но случился сбой, и я не могу обосновать для себя, почему это так".

[thething]

Tiberium в сообщении #1331040 писал(а):

как формально обосновать то, что мы можем разложить функцию $e^{x^2}$ в степенной ряд, подставив в разложение $e^{x}$ $x^2$ вместо $x$?

Формально, есть такая теорема, о подстановке ряда в ряд. А фактически, разложение экспоненты справедливо для любого икса, так что почему бы не принять, что этот икс равен чьему-нибудь квадрату?

[SpBTimes]

Ряд для $e^x$ сходится при любом $x$ к породившей функции. В том числе, будучи $x^2$, и даже $x^2+1$. Правда, в последнем случае не получится степенной ряд, поэтому прибегают к некоторым преобразованиям.

Если речь идет о многочлене Тейлора, то там песня немного иная.

[Tiberium]

SpBTimes в сообщении #1331042 писал(а):

В том числе, будучи $x^2$, и даже $x^2+1$. Правда, в последнем случае не получится степенной ряд,

Вот тут и вопрос: мы ведь можем вместо условного $t$ подставить что угодно, но мы не можем подставить $ t = x^2+1$. Точнее, можем, конечно, но мы ведь не получим правильное разложение. На этой мысли я и глюкнул.

[SpBTimes]

Tiberium
Мы получим правильное разложение, только не по степеням $x$, а по степеням $(x^2+1)$

[thething]

Tiberium в сообщении #1331043 писал(а):

Точнее, можем, конечно, но мы ведь не получим правильное разложение.

Получим -- и правильное, просто надо будет раскрыть все скобки по биному, привести все подобные и из коэффициентов пособирать $e$-шки, довольно муторное занятие.

[SomePupil]

Tiberium, делить разложения на "правильных" и "неправильных" все равно, что делить население на "красных" и "белых") По сути же вопрос только в том, сходятся ли получающиеся ряды к функции или нет (и насколько быстро, но это уже другой вопрос) Приведенные вами ряды сходятся к функции при любых $x.$

Надо признать, непосредственно со степенными рядами работать намного удобнее, поэтому логично стараться разлагать функции именно в степенные ряды. Но, повторюсь, это скорее соображения удобства, а подставить в ваших примерах можно что угодно.

[Tiberium]

SpBTimes
thething
SomePupil

Спасибо! Вправили мозги. Меня подвело то, что я в уме подставлял $x^{2}+1$ и казалось, что $e$ там не будет, что и привело к сомнениям. А там красота в виде $1+1+\frac{1}{2}+...\frac{1}{n!}$.

P.S. Этот вопрос у меня периодически появлялся с первого курса ВУЗа, но каждый раз в итоге забывал взять и наконец разобраться. Как говорит Райгородский, теперь наступил катарсис:)

[Евгений Машеров]

Tiberium в сообщении #1331040 писал(а):

но уже $e^{x^2+1}$ так разложить, естественно нельзя -

Отчего же нельзя? Можно, просто неудобно. Придётся в числителях каждого члена расписывать $(x^2+1)^n$ по степеням $x$ и приводить подобные. Много возни и можно ошибиться. И коэффициенты будут выражаться через суммы бесконечных рядов.

[ewert]

Tiberium в сообщении #1331040 писал(а):

но как формально обосновать то, что мы можем разложить функцию $e^{x^2}$ в степенной ряд, подставив в разложение $e^{x}$ $x^2$ вместо $x$?

Зависит от того, что нужно Тейлора -- ряд или формула.

Если ряд, то надо, конечно, знать о радиусе сходимости ряда для экспоненты.

Если всего лишь формула, то всё формально гораздо тривиальнее. Надо просто выписать эту формулу с остаточным членом в форме Пеано, тупо подставить в неё и в остаточный член -- и вуаля.