Гипотеза, предлагающая меньший интервал

[wrest]

Soul Friend
Вы же в курсе, что $2^{\log _2(x)+1}=2x$ или это новость для вас?

-- 05.08.2018, 11:34 --

И ещё вероятным открытием станет то что
$\log_2(x)=\ln (x)/\ln(2) \approx 1,44 \cdot \ln(x)$

[Someone]

Soul Friend в сообщении #1330671 писал(а):

Подкорректировал формулу, теперь она работает лучше чем $\frac{x}{\ln(x)}$, для больших чисел:

$$\frac{2^{\log_2{(x)}+1}}{\log_2{x}+C(x)}$$

Где $C(x)$ количество цифр в $x$, пример:
$x=100$, $C(x)=3$.

Вообще-то, "количество цифр" — это примерно то же самое, что логарифм.

[wrest]

Soul Friend в сообщении #1330671 писал(а):

лучше чем $\frac{x}{\ln(x)}$, для больших чисел:

$$\frac{2^{\log_2{(x)}+1}}{\log_2{x}+C(x)}$$

Где $C(x)$ количество цифр в $x$, пример

Итого, с учетом сказанного,
$Sf(x) \approx 1,07\dfrac{x}{\ln x}$

[Dmitriy40]

Ага, именно это я и хотел донести до ТС предлагая упростить формулу.

Soul Friend
Проверим Вашу формулу для $x=10^{19}\ldots 10^{19}+10^9$:
Точное число простых в этом диапазоне $22854258$.
Ваша формула даёт число $23644907=+3{,}46\%$ от точного.
Классическая $x/\ln x$ даёт число $22335134=-2{,}27\%$ от точного.

Проверим и для $x=10^{100}\ldots 10^{100}+10^6$:
PARI/GP утверждает что число простых в этом диапазоне $4248$.
Ваша формула даёт число $4602=+8{,}33\%$ от точного.
Классическая $x/\ln x$ даёт число $4324=+1{,}8\%$ от точного.

Ну и чем же Ваша точнее-то для больших чисел?! А с возрастанием чисел Ваша будет всё менее точной как я понимаю.

PS. Тема всё больше и больше сваливается в нумерологию (ручной подбор непонятных констант), незаметно никакой теории под формулами.

[Soul Friend]

$$Sf(x)=\frac{2x}{\log_2{x}+\log_{10}(x)}$$

Спасибо всем за лик.без.
Больше править не буду.

[Dmitriy40]

Soul Friend
Упрощайте уж до конца:

$$\frac{2x}{\log_2x+\log_{10}x} = \frac{2x}{\frac{\ln x}{\ln 2} + \frac{\ln x}{\ln 10}} = \frac{2}{\frac{1}{\ln 2} + \frac{1}{\ln 10}}\cdot\frac{x}{\ln x} = C\frac{x}{\ln x}, \; C \approx 1{,}065536$$

Итого классическую формулу домножили на хитрый коэффициент и всё.

[Soul Friend]

Dmitriy40
буду знать, спасибо.

[Soul Friend]

Вот это выражение работает лучше.(Асимптотическая разница $\pi(x)-(\frac{x}{\ln(x)})$ добавляется к $\frac{x}{\ln(x)}$). Не знаю, если сократить, может, получится опять банальная штука.

$$\frac{\frac{x}{\ln(x)}}{\ln(\frac{x}{10})}+\frac{x}{\ln(x)}$$

Wolfram alfa если не может обработать большие $primepi(x)$, то просто выдаёт результаты от $\frac{x}{\ln(x)}$, не могу проверить на большие числа. Проверил до $10^{12}$.

А $\frac{x}{\ln(x)}$ пересекает $\pi(x)$ (растёт быстрее) ?

[wrest]

Soul Friend в сообщении #1330899 писал(а):

не могу проверить на большие числа. Проверил до $10^{12}$.

PARI/GP считает и дальше, если что.

Soul Friend в сообщении #1330899 писал(а):

Вот это выражение работает лучше.(Асимптотическая разница $\pi(x)-(\frac{x}{\ln(x)})$ добавляется к $\frac{x}{\ln(x)}$). Не знаю, если сократить, может, получится опять банальная штука.

$$\frac{\frac{x}{\ln(x)}}{\ln(\frac{x}{10})}+\frac{x}{\ln(x)}$$

ну так сократите...

[Soul Friend]

wrest в сообщении #1330906 писал(а):

ну так сократите...

не умею пока, мнимые числа, логарифмы трудно поддаютя моему воображению.

[wrest]

Soul Friend
Поиграйте с логарифмической линейкой. Если нет настоящей, то хотя б на картинках или в приложении для гаджета.

[Dmitriy40]

Или заучите полдесятка (кажется их не больше практически полезных) формул преобразования логарифмов: сложение/вычитание, умножение/деление на число/константу, замена основания, определение. Вроде и всё.
Для оценки погрешностей полезно знать производные логарифма и экспоненты.

primepi считает очень медленно, для PARI/GP в разы быстрее будет тот финт что я применил выше: посчитать количество простых в диапазоне командой forprime(p=a,b,n++) (для миллионного интервала после $10^{100}$ выполнялся 6 секунд) и сравнить с разностью $Sf(a+b)-Sf(a)$ (которую тоже неплохо бы математически упростить). Правда тут надо аккуратнее с количеством значащих цифр, если их не хватит можно получить бред (или отрицательное число, или ноль). Но PARI/GP позволяет указывать желаемую точность вычислений (командой \p КоличествоЦифр), для чисел $\approx 10^{100}$ пришлось ставить не меньше 100 цифр (т.к. $Sf(10^{100})\approx 4\cdot 10^{97}$, а надо чтобы была точной младшая цифра целой части). Ну это чисто от лени преобразовать выражение к нормальному виду чтобы не вычитать два близких стозначных числа.

[Soul Friend]

пока что смог упростить до:

$$Sf_2(x)=\frac{x}{(\ln(x)-\ln(10))\ln(x)}+\frac{x}{\ln(x)}$$

хотел на pari\gp вычислить primepi(295658594682759762568), сутки прошли так и не вычислил. Пришлось перейти по ссылке в топике «Явная формула для пи-функции». ( Если загнать их формулу в floor(), интересно было бы посмотреть на этот график)
http://www.primefan.ru/stuff/primes/table.html#explicit

Итого, $Sf_2$ всегда вычисляет первые три цифры в $\pi(x)$ правильно, точность $1.000xy....$ (если вычислять делением)
Есть асимптотические формулы намного лучше, так что, надо искать точные.

[Dmitriy40]

Я бы $x/\ln x$ вынес за скобки и получил гораздо понятнее зависимость

$$Sf_2(x)=\left(1+\frac{1}{\ln(x/10)}\right)\frac{x}{\ln x}$$

Soul Friend в сообщении #1330981 писал(а):

хотел на pari\gp вычислить primepi(295658594682759762568), сутки прошли так и не вычислил.

Неудивительно, уже $\pi(10^{12})$ я за два часа не дождался (хотя $\pi(10^{11})$ считает всего 7с), а Вы хотите ещё на порядки дальше. Возьмите вместо такого кривого числа круглое из таблицы в самом начале странице по Вашей ссылке, там приведены точные значения $\pi(x)$ по крайней мере до $10^{20}$ (дальше надо внимательно разбираться каким именно методом насчитали и насколько он точен).

[Soul Friend]

Как будто специально для меня вчера загрузили видео:
https://youtu.be/Rgdc6_AmDzg
Подобрал точное значение для $x=10^{18}+10^{15}$ :

$$\pi(1001000000000000000)=\frac{x}{(\ln(x)-\sqrt{\pi+1.075892528555})\ln(x)}+\frac{x}{\ln(x)}=2476408146762306 \,;$$