Что представляет собой геометрически множество решений учп?

[пианист]

Такой абстрактный вопрос.
Возьмем множество решений, например,
$\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x} (u^2 \frac{\partial u}{\partial x})$
рассматриваемое как некоторое подмножество в (например, опять же) $H^2(\mathbb {R}^2)$.
Так вопрос, что это будет за подмножество. Например, связно ли?
Можно ли задать на нем (компонентах связности) CW-комплекс? посчитать какие-то гомологии?
Можно ли задать что-то подобное многообразию?
В общем, что-то, касающееся свойств как объекта в целом.
Мне так, навскидку, представляется, что должно быть связно (берем гомотопию соответствующих условий задачи Коши, скажем).
А как задать клеточное разбиение, и можно ли - никаких идей.
Теплопроводность просто как пример, интересно, есть ли какие-то такие результаты, касающиеся чего-то бесконечномерного.

[Someone]

Пространства решений обыкновенных дифференциальных уравнений с топологической точки зрения изучал В. В. Филиппов. В том числе и о гомологиях что-то есть. Я не уверен, что моя информация будет сильно полезной, но, может быть, это Вас на что-нибудь наведёт.

[Vince Diesel]

Топологические идеи насчет возможности деформирования одних решений в другие и применения того для решения нелинейных уравнений есть, это $h$-принцип и его обобщения. Не знаю, насколько это отвечает на ваш вопрос. По $h$-принципу есть, например, монография М. Громов "Дифференциальные соотношения с частными производными".

[пианист]

Someone
Множество решений ОДУ это все-таки конечномерный предмет. Хотя статья интересная, спасибо!

Vince Diesel
Ну да, но это все-таки другая топология.
Но все равно спасибо.

На самом деле, я один пример в эту сторону знаю (недавно узнал): гомологии Флоера. Собственно, отсюда и возник вопрос: есть ли какие-то еще работы в этом направлении?

[пианист]

В продолжение темы гомологий Флоера (хоть это и не совсем настоящая бесконечномерность, но - какая есть), не хочется новую тему создавать.
Попалась любопытная работа: когда гипотеза Арнольда НЕ выполняется.
https://arxiv.org/abs/1609.09192

[pogulyat_vyshel]

(Оффтоп)

пианист в сообщении #1296831 писал(а):

Что представляет собой геометрически множество решений учп?

Да уж. Вот это называется поставить вопрос ребром. По-человечески эту слабость даже можно понять. Ну так хочется глобального группового анализа УРЧП. Старожилы рассказывают, что у некоторых специалистов из НГУ опосля ознакомления с работами Софуса Ли была эдакая эйфория , ну, мы сейчас тут просто ваще все дифуры проинтегрируем и, как говорил один японец, "конец истории". Потом, конечно , выяснилось, что полезными группами симметрий обладают далеко не все уравнения, а процентов 70 из тех результатов, что групповым анализом добываются , давно всем известны и без оного. Но кое-что все-таки обнаружили. И чтобы не забыть, записали в Зайцева- Полянина. А главное, что краевые условия вся эта наука практически учитывать не умеет, а что за УРЧП без краевых условий? -- баловство да и только. В общем, история старая, и чем больше времени проходит, тем дальше от мейнстрима она оказывается. Но отдельные энтузиасты остались. Нашу песню не задушишь, не убьешь.