Curve Reigning Square (MathMash, 24.7)

[Alexander Evnin]

По пятницам проходят онлайн соревнования на сайте https://www.mathmash.org.
Меня привлекла задача 7 из 24 конкурса (https://www.mathmash.org/contest.php?id=24):

Real constants $a, b, c$ are such that there is exactly one square all of whose vertices lie on the cubic curve $y=x^3+ax^2+bx+c$.
The length of the side of the square can be written as $n^{\frac{1}{4}}$.
Find $n$.

У меня получился ответ 64, а организаторы конкурса считают верным ответ 72.
Кто прав?

[svv]

У меня 72.

[Alexander Evnin]

Как сообщил Руслан Максимов, данная задача была в шорт-листе IMO 1991 г. https://mks.mff.cuni.cz/kalva/short/soln/sh9122.html

[svv]

Я решал почти так же.
Вот красивая картинка к решению (Wolfram Alpha: y=x^3-2*sqrt(2)*x; -x=y^3-2*sqrt(2)*y):

Я только иначе использовал условие касания. Если $(r,s)$ — координаты той точки касания, что в первом квадранте, и $f(x)=x^3-bx$, то $f'(r)f'(s)=-1$, так что получаем систему
$\begin{cases}s=r^3-br\\-r=s^3-bs\\(3r^2-b)(3s^2-b)=-1\end{cases}$
Отсюда можно вывести (не находя явно $r, s$), что $(r^2+s^2)^2=18$.