Маятник на платформе

[pogulyat_vyshel]

Платформа массы $M$ может свободно скользить вдоль горизонтальной прямой $x$. На платформе установлен математический маятник ,состоящий из материальной точки массы $m$ и невесомого нерастяжимого стержня длины $h$. Угол отклонения маятника от вертикали обозначим за $\varphi$.
Платформой управляют таким образом, что все время поддерживается соотношение $\dot x+a\dot \varphi=0$, где $a\ne 0$ -- известная константа; $x$ -- координата центра платформы.
Описать динамику маятника.

-- 02.08.2018, 18:32 --

Т.е. нарисовать фазовый портрет маятника при различных значениях параметров в осях $\varphi, \dot\varphi$

[fred1996]

А угол не обязательно маленький?
Для малых углов предложенная формула соответствует гармоническому колебанию с некоторой заданной частотой. При заданных массах можно посчитать параметр $a$. А при заданных массе маятника и параметра $a$ можно вычислить, какая требуется для этого масса тележки. Ну и потом приложить к тележке требуемую внешнюю силу силу с известной частотой, чтобы скомпенсировать несоответствие вычисленной и требуемой масс тележки. То есть движение будет гармоническим с эллипсом в фазовом пространстве. Тут конечно ручаться за единственность вряд ли можно.
Ну и в любом случае масса тележки лишний параметр, от которого вряд ли что зависит.

[pogulyat_vyshel]

fred1996 в сообщении #1330295 писал(а):

угол не обязательно маленький?

нет необязательно

fred1996 в сообщении #1330295 писал(а):

При заданных массах можно посчитать параметр $a$.

параметр $a$ посчитать нельзя, как там выше сказано, он задан
я полагаю, что кроме колебательных режимов там будет еще дофига всего включая затухающие колебания
от $M$ действительно ничего не зависит, лишь бы $M\ne 0$

[pogulyat_vyshel]

Уравнения Лагранжа следующие

$$\ddot x\cos \varphi+h\ddot\varphi+g\sin\varphi=0,\quad \ddot x(M+m)+\ddot\varphi mh \cos\varphi-mh \dot\varphi^2\sin\varphi=F,\qquad (*)$$

где $F$ -- сила управляющего воздействия на платформу. Выражая из этих двух уравнений $\ddot x$ и $\ddot\varphi$ , и подставляя полученные выражения в $\ddot x+a\ddot \varphi=0$ , мы находим $F=F(\varphi,\dot\varphi)$. Это возможно при условии $h\ne a\cos\varphi$. Таким образом, управление находится.
Подставляя выражение $\ddot x=-a\ddot \varphi$ в первое уравнение системы (*), получаем:

$$\ddot\varphi(h-a\cos\varphi))+g\sin\varphi=0.$$

Интеграл "энергии" для этого дифура выглядит весьма живописно:

$$H(\varphi,\dot\varphi)=\frac{1}{2}\dot\varphi^2+\frac{g}{a}\ln\Big|1-\frac{a}{h}\cos\varphi\Big| .$$

[fred1996]

Наверное тележка вообще лишняя.
Можно просто неким образом двигать точку подвеса маятника, чтобы выполнялось заданное условие. Грубо говоря найти функцию $x(t)$. Не привлекая силы $F(t)$, которую потом можно вычислить задним числом, если охота.

[pogulyat_vyshel]

fred1996 в сообщении #1330401 писал(а):

Наверное тележка вообще лишняя.
Можно просто неким образом двигать точку подвеса маятника, чтобы выполнялось заданное условие.

Это я уже не понимаю, ни с точки зрения физики ни с точки зрения математики.

Обратите внимание на следующее.

1) если $h-a>0$ то нижнее положение равновесия маятника устойчиво
2) если $h-a<0$ то нижнее положение равновесия маятника неустойчиво
3) если $h+a>0$ то верхнее положение равновесия маятника неустойчиво
4) если $h+a<0$ то верхнее положение равновесия маятника устойчиво

[EUgeneUS]

pogulyat_vyshel в сообщении #1330404 писал(а):

Это я уже не понимаю, ни с точки зрения физики ни с точки зрения математики.

условие:

pogulyat_vyshel в сообщении #1330209 писал(а):

$\dot x+a\dot \varphi=0$

можно проинтегрировать:
$x + a \varphi = 0 $ (константу интегрирования обнулили выбором точки отсчета: $\varphi = 0 \to x=0$)
То есть это простая кинематическая связь.

Есть невесомый диск радиуса $R$, который может кататься по горизонтальной рельсе без трения качения и без проскальзывания.
С диском жестко связана материальная точка массой $m$, которая находится на расстоянии $h$ от центра диска.
Получили ту же самую задачу, только безо всяких внешних сил:
а) математический маятник.
б) у которого точка подвеса (центр диска) движется по закону: $x + R \varphi = 0$ (а значит и $\dot x+R \dot \varphi=0$)

[pogulyat_vyshel]

EUgeneUS в сообщении #1330427 писал(а):

Есть невесомый диск радиуса $R$, который может кататься

это не надо, я вашу мысль и так прекрасно понял. Давайте оставим обозначение $a$, а $R$ писать не будем.
И так, вы накладываете на систему идеальную связь $x+a\varphi=0$ и получаете лагранжеву систему с одной степенью свободы и обобщенной координатой , скажем $\varphi$. Ok
Напишите пожалуйста дифференциальное уравнение движения вашей системы в терминах $\varphi$. У вас должно получиться одно дифференциальное уравнение второго порядка $\ddot\varphi=\ldots$

[EUgeneUS]

pogulyat_vyshel
Решал по рабоче-крестьянски.

1. Уравнение кривой движения материальной точки:

$x = a \varphi - h \sin \varphi$
$y = h (1 - \cos \varphi)$

2. Дифференцируем 1 раз по времени и записываем ЗСЭ, получаем:

$(\frac{h^2+a^2}{2h} - a \cos \varphi) (\dot{\varphi})^2 = g(1-\cos \varphi)$

[pogulyat_vyshel]

В ЗСЭ должна быть константа интегрирования, ну да ладно. Вы убедились, что ваше уравнение не совпадает с моим:

pogulyat_vyshel в сообщении #1330392 писал(а):

получаем:

$$\ddot\varphi(h-a\cos\varphi))+g\sin\varphi=0.$$

?

[EUgeneUS]

pogulyat_vyshel
Да, арифметика не сходится, одно к другому не сводится.

Но почему условие

pogulyat_vyshel в сообщении #1330209 писал(а):

$\dot x+a\dot \varphi=0$

нельзя свести к идеальной связи $x+a\varphi=0$, пока не сообразил

[pogulyat_vyshel]

Я сейчас объясню в чем дело. Давайте вернемся к задаче стартового поста. Там говорится о системе с двумя степенями свободы в обобщенных координатах $x,\varphi$, соответственно лагранжиан $L=L(x,\varphi,\dot x,\dot\varphi)$. Еще имеется связь $x+a\varphi=0$. Вы предлагаете считать эту связь идеальной. Ну мы знаем как писать уравнения движения с дополнительными идеальными связями, это уравнения Лагранжа со множителями:

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{ \partial \dot x}-\frac{\partial L}{ \partial x}=\lambda,\quad \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{ \partial \dot \varphi}-\frac{\partial L}{ \partial \varphi}=\lambda a.$$

Но в условии задачи не сказано, что связь идеальна, там сказано, что она реализуется путем силового воздействия на платформу, и это уже другая задача:

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{ \partial \dot x}-\frac{\partial L}{ \partial x}=F,\quad \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{ \partial \dot \varphi}-\frac{\partial L}{ \partial \varphi}=0.$$

В моей постановке связь неидеальна. Такого сорта связи называются сервосвязями. Одну и туже связь можно реализовать по-разному.