Есть ли последовательность.

[Charlz_Klug]

Проверьте, пожалуйста, решение.
Задача:
Существует ли последовательность $\{ x_n \}$ такая, что для любых $m, n \in \mathbb{N}$ верно равенство $x_{m+n} = x_m + x_n + m +n$?

Решение:
Буду доказывать что такой последовательности не существует.
$x_1$ мы никак не распишем, поэтому он остаётся как есть.
$x_2$ расписывается одним способом: $x_2 = x_{1+1} = x_1 + x_1 + 1 +1 = 2 x_1 + 2$.
$x_3$ расписывается одним способом: $x_3 = x_{1+2} = x_1 + x_2 +1 +2=x_1+x_2+3$.
$x_4$ расписывается двумя способами: $x_{1+3} = x_1 + x_3 + 4$ и $x_{2+2} = 2x_2 + 4$. Отсюда получается, что $x_1 + x_3 + 4 = 2x_2 + 4 \Rightarrow x_1 + x_3= 2x_2$.
Теперь вместо $x_2$ подставляем $2 x_1 + 2$, а вместо $x_3$ подставляем $x_1+x_2+3 = x_1 + 2x_1+2+3= 3x_1+5$:
$x_1 + x_3= 2x_2 \Rightarrow x_1 + 3x_1+5 = 2(2x_1+2) \Rightarrow 4x_1 + 5 = 4 x_1 +4 \Rightarrow 5=4$.
Получили, что пять равно четырём. Этого не может быть, а следовательно, предположение что такая последовательность существует — ложное.

Ответ: таких последовательностей не существует.

[demolishka]

Решение верное. Можно еще так: $x_{n+2}=x_{n+1}+x_{1}+n+2=x_{n}+x_{2}+n+2$, откуда $x_{n+1}-x_{n}=x_{2}-x_{1}=\operatorname{const}$. С другой стороны, $x_{n+2}-x_{n+1}-x_{1}=n+2$. В последнем выражении левая часть константа, а правая - нет.

[Charlz_Klug]

demolishka, спасибо!