Гипотеза, предлагающая меньший интервал

[Soul Friend]

Какие есть гипотезы предлагающие меньший интервал существования простых чисел, чем предполагается в гипотезе Лежандра?
Каково сейчас положение самой гипотезы Лежандра, расстояние сократилось?

[Soul Friend]

Открыл для себя сегодня гипотезу Оппермана. Ту её часть где разница $n(n-1)$ и $n^2$.

for(i=0, 100, for(n=2, 98, if(nextprime(n^2-n+i)<n^2, n++, print(i, "  ", n))))

Если судить по количеству возрастания $i$ , то простые ведут себя вполне последовательно.
(pari/gp code)

[Dmitriy40]

Вы уверены что Ваш код проверяет именно гипотезу Оппермана? Странный он какой-то, особенно в части n++.
Для поиска контрпримера при $n\le 10^6$ достаточно такого кода:

? for(n=2,10^6, if(precprime(n^2)<n^2-n || nextprime(n^2)>n^2+n, print(n)))
time = 9,157 ms.

[Soul Friend]

Soul Friend в сообщении #1330023 писал(а):

if(nextprime(n^2-n+i)<n^2, n++

ищу следующее простое от числа $n^2-n$, если найденное простое меньше $n^2$ то всё нормально, увеличиваем $n$, а если найденное простое больше $n^2$, то выводим результат и увеличиваем $i$, и считаем $n$ заново для новой $i$.
Увеличивая $i$ мы можем увидеть насколько найденное простое число близко к $n^2$. По сути мы уменьшаем ту $n$ в $n^2-n$.
Например: $5^2-5$ ; $5^2-5+1$ ; $5^2-5+2$ ...

for(n=2, 98, if(nextprime(n^2-n+i)<n^2, n++, print(i, "  ", n)))

вместо $i$ подставляйте числа от $0$ до $x$ пока найденное простое число не станет больше $n^2$.

[Soul Friend]

nextprime(11^2-11+3)

Pari/GP выдаёт 113, а wolframalfa 127.

[Dmitriy40]

(Вопрос о программировании)

Soul Friend в сообщении #1330047 писал(а):

ищу следующее простое от числа $n^2-n$,

А почему +i, а не просто n^2-n?

Soul Friend в сообщении #1330047 писал(а):

увеличиваем $n$,

Увеличение n сделает и for(n=..., что-то из них лишнее, или увеличение, или цикл.

Soul Friend в сообщении #1330047 писал(а):

насколько найденное простое число близко к $n^2$.

Это видно и из n^2-nextprine(n^2-n), зачем тут i непонятно. Или можно ближайшее меньшее n^2 получить: precprime(n^2).
Для полноты ощущений можно даже все простые в этом интервале получить: primes([n^2-n,n^2]).

Soul Friend в сообщении #1330063 писал(а):

Pari/GP выдаёт 113, а wolframalfa 127.

И собственно что? В разных языках разный формат функций, что в этом удивительного?

[Soul Friend]

Dmitriy40 в сообщении #1330074 писал(а):

А почему +i, а не просто n^2-n?

Я "исследую" такие $i$, при котором $nextprime(n^2-n+i)>n^2$

gp > for(i=0,22,for(n=2,22,if(nextprime(n^2-n+i)<n^2,n++,print("i="i,"  ","n=",n,"  ","nextprime(n^2-n+i)=",nextprime(n^2-n+i)," ",">"," ","n^2=",n^2))))
i=2  n=2  nextprime(n^2-n+i)=5 > n^2=4
i=2  n=3  nextprime(n^2-n+i)=11 > n^2=9
i=2  n=4  nextprime(n^2-n+i)=17 > n^2=16
i=3  n=2  nextprime(n^2-n+i)=5 > n^2=4
i=3  n=3  nextprime(n^2-n+i)=11 > n^2=9
i=3  n=4  nextprime(n^2-n+i)=17 > n^2=16
i=4  n=2  nextprime(n^2-n+i)=7 > n^2=4
i=4  n=3  nextprime(n^2-n+i)=11 > n^2=9
i=4  n=4  nextprime(n^2-n+i)=17 > n^2=16
i=4  n=5  nextprime(n^2-n+i)=29 > n^2=25
i=4  n=6  nextprime(n^2-n+i)=37 > n^2=36
i=4  n=11  nextprime(n^2-n+i)=127 > n^2=121

Получается, гипотезу Оппермана можно улучшить на единицу, да и $i$ растёт с ростом $n$.

(О вопросе о программировании)

Вы можете написать это по другому, вариантов много.

[Dmitriy40]

По моему всё равно вместо перебора вариантов i можно один раз пройти по квадратам и найти ближайшее слева и справа простое, это и будет максимально допустимым i.

Ну и изменение границы на единицу математикам не интересно, вот асимптотику для [очень] больших чисел это да.

[Sonic86]

Soul Friend в сообщении #1329956 писал(а):

Какие есть гипотезы предлагающие меньший интервал существования простых чисел, чем предполагается в гипотезе Лежандра?

Достаточно было просто погуглить: гипотеза Крамера
И гипотеза Руста

Soul Friend в сообщении #1330023 писал(а):

Открыл для себя сегодня гипотезу Оппермана.

В Вики в статье про эту гипотезу есть ссылка на более сильную и точную гипотезу гипотеза Фирузбэхт. Там же можно найти ссылки на довольно новые исследования и узнать, что обсуждается вопрос об оценке сверху величины $\frac{p_{n+1}-p_n}{\ln ^2p_n}$.

[Soul Friend]

Dmitriy40 в сообщении #1330224 писал(а):

Ну и изменение границы на единицу математикам не интересно, вот асимптотику для [очень] больших чисел это да.

Вычислил одну асимптотическую функцию, количество простых чисел, до заданного $x=2^t$, приблизительно $\frac{x}{\frac{t}{2}+2}$ т.е $\frac{2x}{t+4}$ или $\frac{2^{t+1}}{t+4}$.
Она близка к $\frac{x}{\ln(x)}$ , но возрастает при очень больших числах.

[Soul Friend]

Построил на одной графике, сравнил:

1. a:=plot([2^t, 2^(t+1)/(t+4), t = 1 .. 10], x = 0 .. 500, y = 0 .. 500): 
2. b:=plot(x/ln(x), x = 0 .. 500, y = 0 .. 500): 
3. with(plots): 
4. display([a(t)], [b(x)]); 

на Maple.
А на WolframAlfa не получается построить на одной графике, кажется ParametricPlot[] и Plot() не совместимы онлайн.

[Dmitriy40]

Преобразуйте к одной переменной (лучше $x$, это несложно) и стройте.
Заодно увидите что Ваша растёт чуть быстрее (примерно в $1{,}3$ раза для $x=10^{19}$ и до $1{,}3863$ раза в пределе). Соответственно непонятно в чём её преимущество, оценки для небольших чисел не так уж интересны.

[Soul Friend]

как построить графику гипотезы Фирузбэхт на Maple? не соображу. Хочу сравнить её с $\frac{x}{\ln(x)}$.
что ближе к $\pi(x)$?

[Soul Friend]

Подкорректировал формулу, теперь она работает лучше чем $\frac{x}{\ln(x)}$, для больших чисел:

$$\frac{2^{\log_2{(x)}+1}}{\log_2{x}+C(x)}$$

Где $C(x)$ количество цифр в $x$, пример:
$x=100$, $C(x)=3$.

[Soul Friend]

(Оффтоп)

Назову $Sf()$ функция(заглавные от ника):

$$Sf(x)=\frac{2^{\log_2{(x)}+1}}{\log_2{x}+C(x)}$$