Букет неодносвязен

[Grom Hellscream]

Существуют ли такие два топологических пространства, что они оба односвязны а их букет неодносвязен?

[iou]

Как следует из теоремы ван Кампена, -- нет.
Но это можно увидеть и явно, рассматривая петли в общей точке и стягивая куски в случае повторого прохождения.

[nya]

Для ван Кампена нужно чтобы окрестность базовой точки была стягиваема, и то что можно стянуть куски не значит что можно равномерно стянуть счетное число кусков. Там скорее всего что-то типа надстройки гавайской серьги в качестве контрпримера должно быть, но думать лень.

[g______d]

По-моему, можно без ссылки на ван Кампена. Пусть $x_0$ -- общая точка, $f\colon [0,1]\to X\vee Y$ -- петля, $f(0)=f(1)=x_0$. Рассмотрим $[0,1]\setminus f^{-1}(x_0)$. Это открытое подмножество $(0,1)$. Оно счётное объединение непересекающихся интервалов. Сужение на замыкание каждого из интервалов -- петля либо целиком в $X$, либо в $Y$. Ничто не мешает стянуть их все одновременно.

А, ну я предполагал $T_1$, но вроде больше ничего не нужно.

[g______d]

iou в сообщении #1330477 писал(а):

Но это можно увидеть и явно, рассматривая петли в общей точке и стягивая куски в случае повторого прохождения.

Сорри, я это предложение как-то пропустил. Это то же самое, конечно.

[Grom Hellscream]

nya в сообщении #1330484 писал(а):

Для ван Кампена нужно чтобы окрестность базовой точки была стягиваема, и то что можно стянуть куски не значит что можно равномерно стянуть счетное число кусков. Там скорее всего что-то типа надстройки гавайской серьги в качестве контрпримера должно быть, но думать лень.

Да, Вы дали правильный ответ, даже просто конус, оказывается, подходит.

[g______d]

Я нашёл ошибку в своём первом рассуждении. Всем спасибо.