Степень числа 131

[Ktina]

Доказать, что любая степень числа 131 с натуральным показателем содержит по крайней мере две различные цифры.

[wrest]

Ktina
Через каждые 50 степеней последние три цифры повторяются (у $131^1;131^{51};131^{101}$ это $131$ и т.д.) и среди них нет 111.

(Оффтоп)

? for(n=1,102,v=Vecrev(digits(131^n));print("n=",n," last 3 digits ",v[3],v[2],v[1]))
n=1 last 3 digits 131
n=2 last 3 digits 161
n=3 last 3 digits 091
n=4 last 3 digits 921
n=5 last 3 digits 651
n=6 last 3 digits 281
n=7 last 3 digits 811
n=8 last 3 digits 241
n=9 last 3 digits 571
n=10 last 3 digits 801
n=11 last 3 digits 931
n=12 last 3 digits 961
n=13 last 3 digits 891
n=14 last 3 digits 721
n=15 last 3 digits 451
n=16 last 3 digits 081
n=17 last 3 digits 611
n=18 last 3 digits 041
n=19 last 3 digits 371
n=20 last 3 digits 601
n=21 last 3 digits 731
n=22 last 3 digits 761
n=23 last 3 digits 691
n=24 last 3 digits 521
n=25 last 3 digits 251
n=26 last 3 digits 881
n=27 last 3 digits 411
n=28 last 3 digits 841
n=29 last 3 digits 171
n=30 last 3 digits 401
n=31 last 3 digits 531
n=32 last 3 digits 561
n=33 last 3 digits 491
n=34 last 3 digits 321
n=35 last 3 digits 051
n=36 last 3 digits 681
n=37 last 3 digits 211
n=38 last 3 digits 641
n=39 last 3 digits 971
n=40 last 3 digits 201
n=41 last 3 digits 331
n=42 last 3 digits 361
n=43 last 3 digits 291
n=44 last 3 digits 121
n=45 last 3 digits 851
n=46 last 3 digits 481
n=47 last 3 digits 011
n=48 last 3 digits 441
n=49 last 3 digits 771
n=50 last 3 digits 001
n=51 last 3 digits 131
n=52 last 3 digits 161
n=53 last 3 digits 091
n=54 last 3 digits 921
n=55 last 3 digits 651
n=56 last 3 digits 281
n=57 last 3 digits 811
n=58 last 3 digits 241
n=59 last 3 digits 571
n=60 last 3 digits 801
n=61 last 3 digits 931
n=62 last 3 digits 961
n=63 last 3 digits 891
n=64 last 3 digits 721
n=65 last 3 digits 451
n=66 last 3 digits 081
n=67 last 3 digits 611
n=68 last 3 digits 041
n=69 last 3 digits 371
n=70 last 3 digits 601
n=71 last 3 digits 731
n=72 last 3 digits 761
n=73 last 3 digits 691
n=74 last 3 digits 521
n=75 last 3 digits 251
n=76 last 3 digits 881
n=77 last 3 digits 411
n=78 last 3 digits 841
n=79 last 3 digits 171
n=80 last 3 digits 401
n=81 last 3 digits 531
n=82 last 3 digits 561
n=83 last 3 digits 491
n=84 last 3 digits 321
n=85 last 3 digits 051
n=86 last 3 digits 681
n=87 last 3 digits 211
n=88 last 3 digits 641
n=89 last 3 digits 971
n=90 last 3 digits 201
n=91 last 3 digits 331
n=92 last 3 digits 361
n=93 last 3 digits 291
n=94 last 3 digits 121
n=95 last 3 digits 851
n=96 last 3 digits 481
n=97 last 3 digits 011
n=98 last 3 digits 441
n=99 last 3 digits 771
n=100 last 3 digits 001
n=101 last 3 digits 131
n=102 last 3 digits 161

P.S. Вычислено при помощи PARI/GP на андроид-планшете

[Ktina]

wrest
Это задача для 5 класса.

-- 30.07.2018, 01:23 --

Представляю, лет через 10, когда будет создан Сильный ИИ, ответы на форуме будут выгладеть так:

Через 10 лет писал(а):

Мы спросили у Робота Тамары и Робот Тамара ответила, что такого числа не существует.

-- 30.07.2018, 01:24 --

Там же совсем легко решается...

[wrest]

Ktina в сообщении #1329451 писал(а):

Там же совсем легко решается...

Погодите, сейчас пятиклассники подтянутся и решат легко...

[Ktina]

wrest в сообщении #1329453 писал(а):

Погодите, сейчас пятиклассники подтянутся и решат легко...

Цитата:

Один корреспондент удивился, как гроссмейстер
Таль не увидел простого хода, который нашёл бы даже
ученик шестого класса. «О, если бы я сейчас учился
в шестом классе, – с грустью сказал Таль, – я бы и
не такой ход нашёл!»

[Ktina]

В общем так, подручный Джона...
Если показатель степени нечётен, то степень даёт остаток 10 при делении на 11, а таких репдиджитов не бывает. Если же показатель степени чётен, то степень не может оканчиваться на 11 из соображений делимости на 4. Вот и вся любовь-морковь.

[wrest]

Ktina в сообщении #1329667 писал(а):

Если же показатель степени чётен, то степень не может оканчиваться на 11 из соображений делимости на 4

Что за соображения?

[gris]

Биномиально, Ватсон!

[Ktina]

wrest в сообщении #1329707 писал(а):

Ktina в сообщении #1329667 писал(а):

Если же показатель степени чётен, то степень не может оканчиваться на 11 из соображений делимости на 4

Что за соображения?

Квадрат не может оканчиваться на 11, так как число, оканчивающееся на 11, даёт остаток 3 при делении на 4. А квадраты дают только остатки 0 и 1 при делении на 4.

[wrest]

Ktina
Дык ведь ещё в 5 классе рассказывали, что никакой репдиджит из двух и более цифр не может быть степенью...

[yk2ru]

репдиджит тут придумали, или такое слово было?

[Ktina]

wrest в сообщении #1329858 писал(а):

Ktina
Дык ведь ещё в 5 классе рассказывали, что никакой репдиджит из двух и более цифр не может быть степенью...

Неужели и доказывали? Или это робот Тамара?

-- 01.08.2018, 17:28 --

yk2ru в сообщении #1329976 писал(а):

репдиджит тут придумали, или такое слово было?

Это слово старше меня:
https://en.wikipedia.org/wiki/Repdigit

[wrest]

Ktina в сообщении #1329979 писал(а):

Неужели и доказывали? Или это робот Тамара?

Ну во-первых, это конечно робот Тамара.

Во-вторых, доказывали. Но не в 5 классе, а немного позже.

Для систем счисления с основаниями до $10$ включительно, степенями (perfect power) являются только следующие репдиджиты, в записи которых более одной цифры:
$11111_3=121_{10}=11^2;1111_7=400_{10}=20^2;4444_7=1600_{10}=40^2$

Так что смело можете задавать например такую задачку:
"Доказать что запись любой натуральной степени числа $131$ в пятеричной и восьмеричной системах счисления не является репдиджитом"