Числа, представимые в виде суммы факториала и квадрата

[Ktina]

1 2 3 5 6 7 10 11 15 17 18 22 ... - это числа, представимые в виде суммы факториала натурального числа и квадрата целого числа. Можно ли оценить скорость возрастания этой последовательности?

Ясно, что искомая скорость лежит между $O(n)$ и $O(n^2)$. А как поточнее, затрудняюсь.
Почему ясно? Потому что, с одной стороны, одно и то же число не встретится дважды (ах, да, это надо было оговорить в условии!), а с другой, для каждого квадрата $n^2$ число $n^2+1$ - член последовательности.

[Lia]

Ktina
Вопросы такого рода можно генерировать килотоннами. Пожалуйста, приводите в дальнейшем собственные соображения по такого рода задачам.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

См. выше.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Математика (общие вопросы)»

[Soul Friend]

Как получить число 2 в последовательности?
В последовательность включены сами факториалы и квадраты?
Или это числа вида $x^{2}_i+x_{j}!$ ?
И включены ли сумма самих факториалов, квадратов?

[Lia]

Soul Friend
$2=1!+1^2$
...
$22=3!+4^2$
Еще вопросы остались?

[Soul Friend]

В http://oeis.org не нашел такой последовательности, может, кто-нибудь добавит?
Думаю, как вывести эту последовательность на Pari/GP, как упорядочить.

i=0
j=0
for(i=1, 10, for(j=1, 5, print(i^2+j!)))

(Оффтоп)

отдельное спасибо maxal за курс PARI/GP. Долго тянул с этим, в итоге установил и "научился" за пол дня.

[Ktina]

Soul Friend в сообщении #1329369 писал(а):

В http://oeis.org не нашел такой последовательности, может, кто-нибудь добавит?

(Оффтоп)

Если бы меня туда пустили как козла в огород, OEIS выглядела бы сейчас намного симпатичнее.

[Soul Friend]

Обобщенная задача Брокара $m^2=A+n!$ у вас же $m^2=A-n!$
нашёл одно совпадение:

$$1!+3^2=3!+2^2$$

[vpb]

А правда. Ktina, вот Вы сами, наверное, самостоятельно математику изучаете тоже. Найти асимптотику (а не только порядок роста) для этой последовательности (эта асимптотика должна несложная быть) --- несложная "микроисследовательская" задача, типа курсовая для первокурсника. Может быть полезно для саморазвития, в плане изучения матанчика.

[Ktina]

vpb
Вы правы.

[wrest]

Soul Friend в сообщении #1329369 писал(а):

Думаю, как вывести эту последовательность на Pari/GP, как упорядочить.

первые примерно 18300 членов последовательности:

? v=[];for(i=1,10,for(j=1,2000, v=concat(v, i!+j^2)));v=vecsort(v,,8);print(#v)
19827

последовательность помещена в вектор v отсортирована по возрастанию, дубликаты удалены.
Всего в вектор попадает около 19827 значений, но "правильных" членов последовательности там примерно до 18300-ого.

Первые 1000 членов:

? for(i=1,1000,print1(v[i],", "))

(Оффтоп)

2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 15, 17, 18, 22, 25, 26, 27, 28, 31, 33, 37, 38, 40, 42, 49, 50, 51, 55, 60, 65, 66, 70, 73, 82, 83, 87, 88, 101, 102, 105, 106, 121, 122, 123, 124, 127, 129, 136, 145, 146, 150, 156, 168, 169, 170, 171, 175, 184, 193, 197, 198, 201, 202, 220, 226, 227, 231, 241, 249, 257, 258, 262, 264, 280, 289, 290, 291, 295, 313, 316, 325, 326, 330, 345, 348, 362, 363, 367, 376, 385, 401, 402, 406, 409, 424, 442, 443, 444, 447, 465, 481, 485, 486, 490, 508, 520, 530, 531, 535, 553, 561, 577, 578, 582, 600, 604, 626, 627, 631, 649, 677, 678, 682, 696, 700, 721, 724, 729, 730, 731, 735, 736, 745, 753, 756, 769, 784, 785, 786, 790, 796, 801, 808, 820, 841, 842, 843, 847, 849, 864, 865, 889, 901, 902, 904, 906, 916, 924, 945, 961, 962, 963, 967, 976, 985, 1009, 1020, 1025, 1026, 1030, 1044, 1048, 1081, 1090, 1091, 1095, 1113, 1120, 1144, 1157, 1158, 1161, 1162, 1180, 1204, 1209, 1226, 1227, 1231, 1249, 1276, 1296, 1297, 1298, 1302, 1320, 1345, 1370, 1371, 1375, 1393, 1396, 1416, 1445, 1446, 1449, 1450, 1468, 1489, 1504, 1522, 1523, 1527, 1545, 1561, 1564, 1601, 1602, 1606, 1620, 1624, 1641, 1681, 1682, 1683, 1687, 1705, 1720, 1744, 1765, 1766, 1770, 1788, 1801, 1809, 1850, 1851, 1855, 1873, 1876, 1884, 1937, 1938, 1942, 1945, 1960, 1969, 2016, 2026, 2027, 2031, 2049, 2056, 2089, 2117, 2118, 2122, 2140, 2145, 2164, 2210, 2211, 2215, 2233, 2236, 2241, 2305, 2306, 2310, 2320, 2328, 2329, 2401, 2402, 2403, 2407, 2424, 2425, 2484, 2501, 2502, 2506, 2521, 2524, 2569, 2602, 2603, 2607, 2620, 2625, 2656, 2705, 2706, 2710, 2721, 2728, 2745, 2810, 2811, 2815, 2824, 2833, 2836, 2917, 2918, 2922, 2929, 2940, 3024, 3026, 3027, 3031, 3036, 3049, 3121, 3137, 3138, 3142, 3145, 3160, 3220, 3250, 3251, 3255, 3256, 3273, 3321, 3365, 3366, 3369, 3370, 3388, 3424, 3482, 3483, 3484, 3487, 3505, 3529, 3601, 3602, 3606, 3624, 3636, 3720, 3722, 3723, 3727, 3745, 3841, 3845, 3846, 3850, 3856, 3868, 3964, 3969, 3970, 3971, 3975, 3993, 4084, 4089, 4097, 4098, 4102, 4120, 4201, 4216, 4226, 4227, 4231, 4249, 4320, 4345, 4357, 4358, 4362, 4380, 4441, 4476, 4490, 4491, 4495, 4513, 4564, 4609, 4625, 4626, 4630, 4648, 4689, 4744, 4762, 4763, 4767, 4785, 4816, 4881, 4901, 4902, 4906, 4924, 4945, 5020, 5041, 5042, 5043, 5044, 5047, 5049, 5056, 5065, 5076, 5089, 5104, 5121, 5140, 5161, 5184, 5185, 5186, 5190, 5208, 5209, 5236, 5265, 5296, 5304, 5329, 5330, 5331, 5335, 5344, 5353, 5364, 5401, 5440, 5449, 5477, 5478, 5481, 5482, 5500, 5524, 5569, 5596, 5616, 5620, 5626, 5627, 5631, 5649, 5665, 5716, 5745, 5761, 5769, 5777, 5778, 5782, 5800, 5824, 5881, 5896, 5904, 5930, 5931, 5935, 5940, 5953, 6001, 6049, 6064, 6085, 6086, 6090, 6108, 6129, 6196, 6204, 6242, 6243, 6247, 6265, 6336, 6345, 6361, 6401, 6402, 6406, 6409, 6424, 6484, 6496, 6520, 6561, 6562, 6563, 6567, 6585, 6640, 6649, 6681, 6721, 6725, 6726, 6730, 6748, 6804, 6844, 6889, 6890, 6891, 6895, 6913, 6961, 6976, 7009, 7057, 7058, 7062, 7065, 7080, 7120, 7156, 7176, 7226, 7227, 7231, 7249, 7281, 7344, 7345, 7397, 7398, 7402, 7420, 7441, 7444, 7516, 7540, 7570, 7571, 7575, 7593, 7609, 7641, 7689, 7744, 7745, 7746, 7750, 7768, 7776, 7849, 7864, 7922, 7923, 7927, 7945, 7956, 8041, 8065, 8101, 8102, 8106, 8116, 8124, 8176, 8220, 8282, 8283, 8287, 8289, 8305, 8401, 8404, 8464, 8465, 8466, 8470, 8488, 8521, 8584, 8640, 8641, 8650, 8651, 8655, 8673, 8761, 8769, 8820, 8837, 8838, 8842, 8860, 8884, 8956, 9001, 9009, 9026, 9027, 9031, 9049, 9136, 9145, 9184, 9217, 9218, 9222, 9240, 9265, 9336, 9369, 9396, 9410, 9411, 9415, 9433, 9529, 9556, 9605, 9606, 9610, 9628, 9664, 9724, 9745, 9801, 9802, 9803, 9807, 9825, 9921, 9936, 9940, 10001, 10002, 10006, 10024, 10081, 10120, 10129, 10202, 10203, 10207, 10224, 10225, 10321, 10324, 10369, 10405, 10406, 10410, 10428, 10516, 10521, 10524, 10610, 10611, 10615, 10633, 10665, 10720, 10729, 10816, 10817, 10818, 10822, 10840, 10921, 10936, 10969, 11026, 11027, 11031, 11049, 11124, 11145, 11237, 11238, 11242, 11260, 11281, 11329, 11356, 11440, 11450, 11451, 11455, 11473, 11536, 11569, 11601, 11665, 11666, 11670, 11688, 11745, 11764, 11784, 11882, 11883, 11887, 11905, 11929, 11956, 12001, 12096, 12101, 12102, 12106, 12124, 12169, 12220, 12265, 12322, 12323, 12327, 12345, 12384, 12436, 12441, 12545, 12546, 12550, 12568, 12601, 12609, 12664, 12770, 12771, 12775, 12784, 12793, 12820, 12889, 12961, 12997, 12998, 13002, 13020, 13041, 13116, 13140, 13226, 13227, 13231, 13249, 13264, 13321, 13345, 13457, 13458, 13462, 13480, 13489, 13504, 13576, 13689, 13690, 13691, 13695, 13713, 13716, 13809, 13876, 13925, 13926, 13930, 13945, 13948, 14044, 14065, 14162, 14163, 14167, 14176, 14185, 14256, 14281, 14401, 14402, 14406, 14409, 14424, 14449, 14520, 14642, 14643, 14644, 14647, 14665, 14761, 14841, 14881, 14885, 14886, 14890, 14908, 15004, 15040, 15120, 15130, 15131, 15135, 15153, 15241, 15249, 15361, 15377, 15378, 15382, 15400, 15444, 15496, 15604, 15626, 15627, 15631, 15649, 15745, 15849, 15856, 15877, 15878, 15882, 15900, 15996, 16065, 16096, 16130, 16131, 16135, 16153, 16249, 16276, 16345, 16385, 16386, 16390, 16408, 16489, 16504, 16596, 16642, 16643, 16647, 16665, 16704, 16761, 16849, 16901, 16902, 16906, 16921, 16924, 17020, 17104, 17140, 17162, 17163, 17167, 17185, 17281, 17361, 17425, 17426, 17430, 17448, 17544, 17584, 17620, 17690, 17691, 17695, 17713, 17809, 17881, 17957, 17958, 17962, 17980, 18036, 18076, 18144, 18226, 18227, 18231, 18249, 18265, 18345, 18409, 18496, 18497, 18498, 18502, 18520, 18616, 18676, 18729, 18770, 18771, 18775, 18793, 18889, 18945, 18964, 19045, 19046, 19050, 19068, 19164, 19201, 19216, 19322, 19323, 19327, 19345, 19440, 19441, 19489, 19601, 19602, 19606, 19624, 19681, 19720, 19764, 19882, 19883, 19887, 19905, 19924, 20001, 20041, 20165, 20166, 20169, 20170, 20188, 20284, 20320, 20416, 20450, 20451, 20455, 20473, 20569, 20601, 20665, 20737, 20738, 20742, 20760, 20856, 20884, 20916, 21026, 21027, 21031, 21049, 21145, 21169, 21317, 21318, 21322, 21340, 21424, 21436, 21456, 21610, 21611, 21615, 21633, 21681, 21729, 21745, 21905, 21906, 21910, 21928, 21940, 22024, 22036, 22201, 22202, 22203, 22207, 22225, 22321, 22329, 22464, 22501, 22502, 22506, 22524, 22620, 22624, 22729, 22802

Первые 100 простых чисел, представимых суммой квадрата и факториала:

? v=[];for(i=1,10,for(j=1,2000, n=i!+j^2;if(ispseudoprime(n), v=concat(v,n))));v=vecsort(v,,8);for(i=1,100, print1(v[i],", "))

(Оффтоп)

2, 3, 5, 7, 11, 17, 31, 37, 73, 83, 101, 127, 193, 197, 227, 241, 257, 313, 367, 401, 409, 443, 577, 631, 677, 769, 967, 1009, 1091, 1231, 1249, 1297, 1489, 1523, 1601, 1801, 1873, 2027, 2089, 2521, 2833, 2917, 3049, 3121, 3137, 3251, 3529, 3727, 4201, 4231, 4357, 4441, 4513, 5209, 5449, 5477, 5569, 5881, 5953, 6247, 6361, 6563, 6961, 7057, 7927, 8101, 8287, 8521, 8641, 8761, 8837, 9001, 9049, 9433, 9803, 10321, 10369, 10729, 11027, 11329, 11887, 12101, 12323, 12601, 12889, 13249, 13457, 13691, 14281, 14401, 14449, 15131, 15241, 15361, 15377, 15649, 15877, 16249, 16901, 16921