Класс всех множеств

[Qlin]

Верно ли, что класс всех множеств есть класс, содержащий пустое множество и замкнутый относительно операций взятия пары, объединения, пересечения, разности?

[Mikhail_K]

Qlin в сообщении #1328979 писал(а):

Верно ли, что класс всех множеств есть класс, содержащий пустое множество и замкнутый относительно операций взятия пары, объединения, пересечения, разности?

Безусловно, класс всех множеств содержит пустое множество и замкнут относительно упомянутых операций. Столь же ясно, что, к примеру, класс всех конечных множеств тоже удовлетворяет этим условиям.

[Qlin]

Mikhail_K в сообщении #1328982 писал(а):

Безусловно, класс всех множеств содержит пустое множество и замкнут относительно упомянутых операций. Столь же ясно, что, к примеру, класс всех конечных множеств тоже удовлетворяет этим условиям.

Я, если честно, даже не знаю, с чего начать доказательство этих фактов. Но поскольку был ответ да, то можно задать следующий вопрос: а верно ли, что класс всех конечных множеств минимален среди всех таких классов?

-- 26.07.2018, 17:36 --

Подумав немного, пришел к такому решению: если бы класс всех множеств оказался незамкнут, то посредством данных операций из множеств конструировались бы собственные классы. Дальше — дело техники. С конечными множествами тоже просто: пустое множество конечно и из конечных множеств образуются конечные. Эти два вопроса снимаются.

-- 26.07.2018, 17:42 --

Новая проблема: можно ли представить универсум как объединение множества $X$ и класса $Y$ таких, что $\varnothing \in X$, $Y$ — не универсум, и всякий элемент $Y$ образуется из элементов $X$ только путем применения к ним указанных операций?

[Someone]

Qlin в сообщении #1329020 писал(а):

а верно ли, что класс всех конечных множеств минимален среди всех таких классов?

Нет. Вот класс наследственно конечных множеств — может быть.

Для доказательства можно попытаться доказать следующие два утверждения:
1) интересующий Вас класс содержит пустое множество (это в данном случае верно по определению обсуждаемого класса);
2) если все элементы некоторого множества принадлежат вашему классу, то и само множество принадлежит этому классу.

Такой способ доказательства работает, если верна аксиома регулярности.