Покрытие интервала отрезками

[Sorrow]

Всем привет, у меня следующий вопрос: можно ли представить интервал $(0, 1)$ в виде не более чем счетной системы попарно непересекающихся отрезков?

Я предлагаю такой вариант: на первом шаге в центре интервала $(0, 1)$ появляется отрезок длины $\frac{1}{2}$. Слева и справа от отрезка появятся два интервала.
На втором шаге в центрах этих интервалов появляются отрезки длиной $\frac{1}{8}$. На третьем шаге в центрах оставшихся интервалах появляются отрезки длиной $\frac{1}{32}$ и так далее.

Такие длины выбраны неслучайно: $\frac{1}{2} + 2\frac{1}{8} + 4\frac{1}{32} + ... = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... = 1$
То есть по длине все сойдется. Но из примера множества Кантора становится понятно, что это не достаточное условие того, что весь интервал покроется (в множестве Кантора сумма длин интервалов, составляющих дополнение, равна единице, хотя множества Кантора непусто).

Если предположить, что весь интервал не покрылся этой системой, то найдется точка из дополнения, лежащая в системе стягивающихся интервалов. Но это значит, что она не попала на конец ни одного интервала, и я не знаю, как это доказывать.

Подскажите, пожалуйста, верен ли этот пример. Если да, то как это доказать? Если нет, то может есть какая-то теорема, из которой следует, что это невозможно?

Спасибо

[mihaild]

Будем использовать четверичную систему исчисления.
На первом этапе мы покрываем отрезок $[0.1; 0.3]$. На втором - отрезки $[0.01; 0.03]$ и $[0.31; 0.33]$. На третьем - $[0.001; 0.003]$, $[0.031; 0.033]$, $[0.301; 0.303]$, $[0.331; 0.333]$. И т.д. - на каждом этапе покрываем числе вида $[0.x1; 0.x3]$, где $x$ состоит из нулей и троек.
Отсюда видно, что число, например, $0.(30)$ мы не покроем ни на каком этапе.

-- 26.07.2018, 16:38 --

Покрыть нельзя, но это не совсем тривиальное утверждение.
Возьмем какое-то покрытие отрезками $C_1, C_2, \ldots$, возьмем $O_i$ - внутренность $C_i$ и рассмотрим $T = [0; 1] \setminus \bigcup\limits_i O_i$. $T$, очевидно, замкнуто и непусто и содержит все концы $C_i$. Пусть оно не более чем счетно. Докажем, что оно совершенно (не содержит изолированных точек).
Рассмотрим точку $x \in T$. Т.к. $T$ не более чем счетно, то в $\varepsilon$-окрестности $x$ найдется $y \notin T$. Сможете из этого найти точку $z \in T$ в той же (проколотой) $\varepsilon$ окрестности?
(а дальше осталось сказать, что непустое совершенное множество несчетно)

[novichok2018]

Было здесь, с Бэром и без:
topic19487.html