дважды дифференцируемая функция Зорич V.3.9а

[Paul Ivanov]

Задача следующая:
Дано, что $f$ - дважды дифференцируемая на отрезке $I=[-a,a]$ функция.
$M_0=\sup\limits_{x\in I}\left\lvert f(x) \right\rvert$, $M_1=\sup\limits_{x\in I}\left\lvert f'(x) \right\rvert$, $M_2=\sup\limits_{x\in I}\left\lvert f''(x) \right\rvert$
Нужно доказать, что всюду на $I$ выполнено соотношение: $\left\lvert f'(x) \right\rvert\leqslant\frac{M_0}{a}+\frac{x^2+a^2}{2a}\cdot M_2$
В голову пока приходит только одна идея (которая однако пока ни к чему не приводит):
использовать формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:
$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot (x-x_0)+f''(\xi_1)\cdot \frac{(x-x_0)^2}{2}$
$f'(x)=f'(x_0)+f''(\xi_2)\cdot (x-x_0)$
в частности, например:
$f(x)=f(0)+f'(0)\cdot x+f''(\xi_1)\cdot \frac{x^2}{2}$
$f'(x)=f'(0)+f''(\xi_2)\cdot x$
где $\xi_1$ и $\xi_2$ - величины, зависимые от точек $x_0$ и $x$ и лежащие внутри интервала с концами в этих точках.
Отсюда можно вывести например, что для решения задачи достаточно доказать, что $M_2\cdot \frac{a}{2}\geqslant\left\lvert f'(x)\right\rvert - \left\lvert \frac{f(x)}{a}-\frac{f'(0)\cdot x}{a}\right\rvert$
Что с этим делать не знаю, видимо нужен какой-то другой подход к этой задаче, который я однако пока никак не могу понять.

[pogulyat_vyshel]

Paul Ivanov в сообщении #1328918 писал(а):

ользовать формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:
$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot (x-x_0)+f''(\xi_1)\cdot \frac{(x-x_0)^2}{2}$

напишем эту формулу еще раз $f(-x)=f(x_0)+f'(x_0)(-x-x_0)+f''(\xi_2)\cdot \frac{(-x-x_0)^2}{2}$
вычтете из первого равенства второе, выразите $f'(x_0)$ и подставьте $x=a$

[Paul Ivanov]

Цитата:

Цитата:

$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot (x-x_0)+f''(\xi_1)\cdot \frac{(x-x_0)^2}{2}$

напишем эту формулу еще раз $f(-x)=f(x_0)+f'(x_0)(-x-x_0)+f''(\xi_2)\cdot \frac{(-x-x_0)^2}{2}$
вычтете из первого равенства второе, выразите $f'(x_0)$ и подставьте $x=a$

Да, тогда всё, пусть не с ходу, но получается)))
Спасибо!!!