Чтобы все числа оказались иррациональными...

[Ktina]

Докажите, что для любых действительных чисел $a_1, a_2,\dots , a_{100}$ существует такое действительное число $b$ такое, что все числа $a_i+b\quad (1\leqslant i\leqslant 100)$ — иррациональные.

Попытаюсь обрисовать идею решения, конструктивная критика приветствуется, помощь тоже.

1) Если для некоторого вещественного $a$ и некоторого целого неотрицательного $n$ число $a+n\pi$ рационально, то для всех натуральных $k>n$ число $a+k\pi$ будет иррациональным (в противном случае, $\pi$ было бы рациональным как разность двух рациональных, делённая на ненулевое целое).

2) Таким образом, для каждого из ста чисел $a_1, a_2,\dots , a_{100}$ найдётся не более одного целого неотрицательного $n_i\quad (1\leqslant i\leqslant 100)$, при котором число $a_i+n_i\pi$ будет рациональным. Или не найдётся вообще, но это - частный случай. Если не найдётся, можно условно считать его равным -1 (тут уже я делаю робкую попытку мыслить как программист).

3) Из чисел $n_i\quad (1\leqslant i\leqslant 100)$ выберем наибольшее, увеличим его на 1 и умножим результат на $\pi$. Полученное произведение и будет тем самым числом $b$, которое требуется в задаче.

Ну а теперь, повторяю, конструктивная критика приветствуется, помощь тоже.
Заранее благодарю!

[novichok2018]

Вариантов для b континуум. Вариантов когда сумма рациональная-счётное число. Выкинем их все из континуума.
Что-то всё равно останется.

[mihaild]

Во-первых, из мощностных соображений и правда ответ следует сразу.
Во-вторых, ваше "программистское" рассуждение в некоторых случаях разваливается (что вообще и в программировании характерно для "костылей"): если $a_1 = a_2 = \ldots = 0$, то вы выберете $n_i = -1$, и получите $b = 0$.

[Ktina]

mihaild в сообщении #1328839 писал(а):

... если $a_1 = a_2 = \ldots = 0$, то вы выберете $n_i = -1$, и получите $b = 0$.

Ой

-- 25.07.2018, 23:44 --

mihaild
Пардон! А разве $0+0\cdot\pi$ не рационально?

-- 25.07.2018, 23:46 --

Если $a_1 = a_2 = \ldots = 0$, то я НЕ выберу $n_i = -1$, потому что будет +1, а не -1.

[mihaild]

А, пардон, вы там неотрицательные а не положительные берете. Тогда да, проходит.

[Ktina]

mihaild в сообщении #1328856 писал(а):

А, пардон, вы там неотрицательные а не положительные берете. Тогда да, проходит.

Так у меня решение правильное?