Сходимость несобственного интеграла

[assik]

Имеется строго возрастающая на отрезке $[0,b]$ функция $u(x)$. Вдобавок функция $u(x)$ непрерывно дифференцируема на $\left[0,b\right]$, $u(0)>0$ и $1-\delta u(b)=0$, где $\delta>0$. Необходимо исследовать сходимость несобственного интеграла 2-го рода

$\int\limits_{0}^{b}\frac{x\,u(x)}{1-\delta\,u(x)}dx.$

Рассуждения таковы. Используем предельный признак сравнения, в котором в качестве эталонной функции возьмем

$g(x)=\frac{u'(x)}{1-\delta\,u(x)}.$

Подынтегральная функция искомого интеграла

$f(x)=\frac{x\,u(x)}{1-\delta\,u(x)}.$

Имеем

$\lim_{x\rightarrow b-}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow b-}\frac{x\,u(x)}{u'(x)}=K>0,$

значит несобственные интегралы от этих функций ведут себя одинаково. Интеграл

$\int\limits_{0}^{b}g(x)dx=\lim_{x\rightarrow b-}\left(-\frac{1}{\delta}\ln\left(1-\delta u(b)\right)\right)=+\infty.$

Получается искомый интеграл расходится. Хотелось бы узнать правильно ли все проделано или же есть ошибки в рассуждениях.

[ewert]

Можно и так (только про $K$ надо оговорить, что он может не существовать или быть бесконечным). Но лучше проще и без использования специфики подынтегрального выражения. Числитель не меньше некоторого положительного числа, а знаменатель не превосходит некоторой константы, умноженной на на $(b-x)$. Соответственно, подынтегральная функция оценивается снизу дробью вида $\frac{C}{b-x}$, что и даёт расходимость.

[assik]

ewert в сообщении #1328777 писал(а):

Можно и так (только про $K$ надо оговорить, что он может не существовать или быть бесконечным). Но лучше проще и без использования специфики подынтегрального выражения. Числитель не меньше некоторого положительного числа, а знаменатель не превосходит некоторой константы, умноженной на на $(b-x)$. Соответственно, подынтегральная функция оценивается снизу дробью вида $\frac{C}{b-x}$, что и даёт расходимость.

Спасибо!