Точки разрыва у производных

[Paul Ivanov]

На пути решения одной из задач возник следующий вопрос: Точно ли у производных могут существовать все виды точек разрыва второго рода? Если конкретнее, то так:
Пусть дана функция $f$, непрерывная и дифференцируемая на отрезке $[a,b]$. Возможно ли такое, что, допустим, $\lim\limits_{x\to a+0}^{}f'(x)=+\infty$? (Ситуация пограничная и становится не очень понятно, почему всё же утвердили, что точка $a$ в этом случае является точкой разрыва второго, а не первого рода)
Доказывал всё по той же схеме, по которой подобная ситуация доказывается для точек разрыва первого рода по следующей ссылке: http://edu.alnam.ru/book_man_b.php?id=89 (страница 231 параграф 4 пункт 3 "отсутствие разрывов первого рода и устранимых разрывов у производной") и получил в результате, что такого быть не может.
Прошу подтвердить, если я прав или привести соответствующий пример, если не прав.

[GAA]

Да, если $\lim\limits_{x\to a+0}^{}f'(x)=+\infty$, то предел справа разностного отношения отношения приращения функции к приращению аргумента в точке $a$ будет равен $+\infty$.

($\lim_{\Delta x \to +0} \frac {f(a+\Delta x) - f(a)}{\Delta x} = +\infty $.)

Т.е. функция не дифференцируема в $a$.

-- Mon 23.07.2018 15:58:55 --

[Но формулировка утверждения как-то странно звучит. Лишнее там условие непрерывности: из дифференцируемости функции на отрезке следует её непрерывность на отрезке.
Поэтому либо непрерывность в условии убрать (и тогда это будет стандартное утверждение), либо что-то другое изменить (и тогда ответ на опрос будет зависеть от изменений).]
__________________
На эту тему ссылка в сообщении post1328350.html#p1328350 темы «Зорич I том мат. анализ V.3.7b»

[novichok2018]

В функане есть такая хитрая теорема Янг-Данжуа-Сакса про точки разрыва производных, но не помню, про что она. Как-то про то, какие бывают точки разрыва у производной функции в общем положении.

[ewert]

У Ильина с компанией слишком занудное доказательство. Надо просто использовать определение предела функции в смысле Гейне (в данном случае речь о функциях $f'(x)$ и $\delta f(\Delta x)=\frac {f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}$, изначально не определённых при $x=a$ и $\Delta x=0$ соответственно, но это и не нужно).

Предположим, что существует предел $\lim\limits_{\Delta y\to+0}f'(a+\Delta y)=c$ (конечный или бесконечный-- неважно). Тогда $\lim\limits_{n\to\infty}f'(a+\Delta y_n)=c$ для любой последовательности $\Delta y_n\to+0$. Берём произвольную последовательность $\Delta x_n\to+0$. Для каждого $\Delta x_n$ по теореме Лагранжа существует $\Delta y_n\in(0;\Delta x_n)$ такое, что $\frac {f(a+\Delta x_n)-f(a)}{\Delta x_n}=f'(a+\Delta y_n)$ и, поскольку $\Delta y_n$ также стремятся к нулю, имеем $\lim\limits_{n\to\infty}\frac {f(a+\Delta x_n)-f(a)}{\Delta x_n}=c$. Это в точности означает (в силу произвольности последовательности $\Delta x_n$) существование $f'_+(a)\equiv\lim\limits_{\Delta x\to+0}\frac {f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}=c$.

Т.е. существование односторонней производной (конечной или бесконечной) следует из существования предела производных. Если этот предел конечен, то и на конце отрезка функция дифференцируема; если бесконечен -- естественно, нет. Соответственно, требование дифференцируемости в точке $a$, наложенное в книжке, явно избыточно, а вот потребовать непрерывность нужно.

[B@R5uk]

Функция может быть непрерывна в точке, но не являться гладкой (производная не существует) яркий тому пример следующая функция в нуле:

$$f\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{*{35}{r}} 0, & x=0 \\ x\sin \frac{1}{x}, & x\ne 0 \\ \end{array} \right. $$

В то же время, функция может быть не только непрерывной, но и гладкой в точке, где в обычном смысле производная не существует:

$$f\left( x \right)=\sqrt[3]{x}$$

Здесь в нуле у функции вертикальная касательная, то есть производная обращается в бесконечность. Однако, функция при этом не терпит ни разрывов, ни изломов.

(Оффтоп)

Если смотреть на функцию как на кривую, задаваемую формулой, то проблему можно считать связанной не с самой функцией, а с неудачным выбором системы координат. Если эту систему отразить относительно прямой $x=y$, то функция превратится в кубическую и никаких проблем у неё не будет.

[GAA]

ewert, это, конечно, естественная реакция, если не учитывать контекст. Сама эта ветка возникла в связи с задачей, в которой известно, что функция дифференцируема на отрезке. И нужно учитывать особенность терминологии Зорича (а также Ильина, …): производная — число, т.е. не рассматриваются бесконечные производные.

-- Wed 25.07.2018 13:53:17 --

B@R5uk, это также много раз на форуме обсуждалось.

-- Wed 25.07.2018 13:58:15 --

Paul Ivanov, не нужно создавать отдельные ветки для необходимых для решения задачи утверждений, которые изложены в учебниках и много раз в разных терминах обсуждались на форуме. Лучше сформулировать в виде вспомогательного утверждения в основной ветке. Эта ветка через сутки переедет в Чулан, если не будет существенных возражений.

[ewert]

GAA в сообщении #1328702 писал(а):

Сама эта ветка возникла в связи с задачей, в которой известно, что функция дифференцируема на отрезке. И нужно учитывать особенность терминологии Зорича (а также Ильина, …): производная — число, т.е. не рассматриваются бесконечные производные.

1). Рассматривать или нет бесконечные производные -- дело вкуса, конечно. Только вот каши они много не просят, жизнь же могут облегчать заметно. Вот как раз именно в этой задаче: самый простой способ убедиться в невозможности той ситуации -- это доказать, что производная на конце окажется бесконечной. Т.е. тупо сослаться на цитировавшуюся в стартовом посте лемму из книжки Ильина, но в обобщённом варианте.

2). Формулировка которой в оригинале, да, дефектна (хотя и корректна). Требовать дифференцируемости на конце в случае, когда эта дифференцируемость следует из всего остального -- не очень прилично. Утверждение заметно ослабляется, это может приводить к неприятностям. В той же книжке вполне резонно получено как следствие из леммы отсутствие точек разрыва 1-го рода, но потеряно довольно существенное дополнение: в точках разрыва производная не просто может, а обязана не иметь никаких пределов -- ни конечных, ни бесконечных.

3). Насчёт "особенностей терминологии": за Зорича не скажу, но вот насчёт Ильина и т.д. -- сильно сомневаюсь. Поскольку у них в формулировке той самой леммы прямым текстом говорится, что функция "имеет конечную производную". Что довольно бессмысленно, если не допускать существования производных бесконечных. (Конечно, не исключено, что это лишь очередная небрежность.)

[GAA]

На мой взгляд, это шаги медленного отказа от бесконечных производных.

У Фихтенгольца в «Курсе дифференциального и интегрального исчисления» утверждение формулируется в предлагаемой Вами форме и с предлагаемыми Вами акцентами.

В книге Ильина и Позняка «Основы математического анализа», выпуск I (т.е. том I) доказательство проводится с упором на определение по Гейне, но уже требуется конечность производной. Некоторая непоследовательность (а местами шероховатость и небрежность) присутствует. На мой взгляд, нужно учитывать год издания — 1967.

[Всегда при перестройке столь объёмного курса некоторые формулировки становятся более компактными и стройными, а некоторые более корявыми, иногда настолько, что и саму формулировку режут. Но из самого доказательства нужные факты очевидны. Поэтому если не лениться, как это в теме продемонстрировал Paul Ivanov, то существенных проблем не будет.

И да, на семинарских занятиях решаются задачи (по крайней мере, решались) на те акценты, на которые Вы обращаете внимание. И мне трудно было гладко формулировать в этом месте, отказываясь от бесконечных производных.
Это видно, в частности, из моего сообщения выше: вместо бесконечной правой производной я был вынужден писать о бесконечном пределе справа отношения приращения функции к приращению аргумента. Громоздко.]