Зорич I том мат. анализ V.3.7b

[Paul Ivanov]

Задача следующая:
Дана функция $f$, определённая и дифференцируемая на отрезке $[a,b]$, про которую также известно, что $f'(x)$ дифференцируема при $x\in(a,b)$.
Нужно доказать, что найдётся точка $\xi\in(a,b)$ такая, что $f'(b)-f'(a)=f''(\xi)\times(b-a)$
Мысли есть следующие: 1. Можно использовать теорему Дарбу о промежуточных значениях производной, которая позволяет заключить, что если доказываемое утверждение задачи неверно, то $\forall x\in(a,b) (f''(x)>\frac{f'(b)-f'(a)}{b-a}) \vee \forall x\in(a,b) (f''(x)<\frac{f'(b)-f'(a)}{b-a})$
2. Теоремы Ролля и Лагранжа о конечном приращении здесь так просто не срабатывают, так как $f'$ может быть разрывной в точках $a$ и $b$. Можно в принципе считать доказанным также то, что если эти точки являются точками разрыва, то это точки разрыва второго рода и попробовать отталкиваться от этого.
Что с этим делать не очень понятно.

[Dan B-Yallay]

Paul Ivanov в сообщении #1328242 писал(а):

Теоремы Ролля и Лагранжа о конечном приращении здесь так просто не срабатывают, так как $f'$ может быть разрывной в точках $a$ и $b$. Можно в принципе считать доказанным также то, что если эти точки являются точками разрыва, то это точки разрыва второго рода

Вы уж определитесь: либо в точках $a , \ b$ у Вас $f'$ терпит разрывы второго рода (то есть равнa бесконечности / не определенa), либо согласно условиям задачи, $f'(a), \ f'(b)$- существуют, конечны и подчиняются арифметическим операциям:

Paul Ivanov в сообщении #1328242 писал(а):

Нужно доказать, что найдётся точка $\xi\in(a,b)$ такая, что $f'(b)-f'(a)=f''(\xi)\times(b-a)$

[vpb]

Dan B-Yallay
Насколько я понял условие, $f'$ определена всюду на отрезке, т.е. во внутренних точках обычным образом, а на краях --- как односторонняя производная. Противоречия с тем, что она на концах может иметь разрывы второго рода, нет (да и пример легко придумать такой...).

Paul Ivanov
Указание. Покажите, что $f'(a)$ является частичным пределом $f'(x)$ при $x\to a+0$, и аналогично для второго конца.

[Paul Ivanov]

Цитата:

Вы уж определитесь: либо в точках $a , \ b$ у Вас $f'$ терпит разрывы второго рода (то есть равнa бесконечности / не определенa), либо согласно условиям задачи, $f'(a), \ f'(b)$- существуют, конечны и подчиняются арифметическим операциям:

То, что функция терпит в некоторой точке разрыв второго рода вовсе не означает, что в этой точке значение функции стремится к бесконечности или не определено. Вот по этому адресу: viewtopic.php?p=13804#13804 можно найти пример производной, имеющей точку разрыва второго рода в нуле, при этом сама производная вполне определена в нуле и равна нулю, как видите разрыв второго рода вовсе не означает бесконечность или неопределённость. И кстати никакая функция не может ни в какой точке быть равной бесконечности (хотя может к ней стремиться).

[Dan B-Yallay]

vpb в сообщении #1328257 писал(а):

Насколько я понял условие, $f'$ определена всюду на отрезке, т.е. во внутренних точках обычным образом, а на краях --- как односторонняя производная.

Я просто воспринял условие буквально: дано то, что указано. Существование односторонних производных должно быть явно оговорено авторами задачи или однозначно следовать из условий.

Paul Ivanov в сообщении #1328259 писал(а):

Вот по этому адресу: viewtopic.php?p=13804#13804 можно найти пример производной, имеющей точку разрыва второго рода в нуле, при этом сама производная вполне определена в нуле и равна нулю, как видите разрыв второго рода вовсе не означает бесконечность или неопределённость. И кстати никакая функция не может ни в какой точке быть равной бесконечности (хотя может к ней стремиться).

Это моё косноязычие пробило.
Разумеется, я говорил о пределах $\lim\limits_{x \to a+}f'(x), \ \lim\limits_{x \to b-}f'(x)$

Paul Ivanov в сообщении #1328259 писал(а):

То, что функция терпит в некоторой точке разрыв второго рода вовсе не означает, что в этой точке значение функции стремится к бесконечности или не определено.

По определению в учебнике Зорича (см. под катом), разрыв второго рода -- это когда (односторонний) предел не существует. Можно, конечно, задать какое-то произвольное значение для функции в точке разрыва, как в примере по предложенной ссылке, но тогда мне неочевидно, что можно доказать то, что требуют в задаче. Поэтому пока что перейду в категорию зрителей.

(Зорич)

Вложение:

3oro4.jpg [ 64.92 Кб | Просмотров: 0 ]

[Paul Ivanov]

Цитата:

Paul Ivanov
Указание. Покажите, что $f'(a)$ является частичным пределом $f'(x)$ при $x\to a+0$, и аналогично для второго конца.

Идея доказать, что эти производные являются частичными пределами мне в голову приходила, непонятно другое: как вообще из этого следует доказываемое утверждение? Допустим мы уже доказали эту идею о частичных пределах. Становится понятно, например, (из теоремы Лагранжа о конечном приращении), что на интервале $(a,b)$ существуют вторые производные функции f сколь угодно близкие к $\frac{f'(b)-f'(a)}{b-a}$, но не более того. Только что придумал более элегантное решение:
Допустим, что доказываемое утверждение неверно, тогда можно, например, точно положить, что $f''(x)>\frac{f'(b)-f'(a)}{b-a}$ всюду на интервале $(a,b)$ (это вытекает из теоремы Дарбу о промежуточных значениях производной). Отсюда получаем, что функция $g(x)=f'(x)-\frac{f'(b)-f'(a)}{b-a}\cdot x$ всюду на $(a,b)$ имеет положительную производную, следовательно $g(x)$ на этом интервале монотонно возрастает, следовательно $g(x)$ как минимум на одном из концов отрезка имеет либо точку разрыва второго рода, для которой верно, что функция при стремлении аргумента к данной точке устремляется к одному единственному из полюсов бесконечности (например к $+\infty$), либо точку разрыва первого рода (здесь использовался тот факт, что g(a)=g(b)). Но отсюда вытекает, что $f'(x)$ также в одной из точек $a$ и $b$ терпит либо разрыв первого рода, либо разрыв второго рода того же типа, что я указал выше. Но для производных подобное невозможно - противоречие.
Аналогично доказывается для предположения $f''(x)<\frac{f'(b)-f'(a)}{b-a}$
В этом решении я использовал утверждение, в котором я не совсем уверен: topic128655.html

[vpb]

Paul Ivanov в сообщении #1328350 писал(а):

Идея доказать, что эти производные являются частичными пределами мне в голову приходила, непонятно другое: как вообще из этого следует доказываемое утверждение

Не хотите, не доказывайте, как говорится, "хозяин - барин".

Paul Ivanov в сообщении #1328350 писал(а):

Допустим, что доказываемое утверждение неверно, тогда можно, например, точно положить, что всюду на интервале (это вытекает из теоремы Дарбу о промежуточных значениях производной). Отсюда получаем, что функция всюду на имеет положительную производную, следовательно на этом интервале монотонно возрастает, следовательно как минимум на одном из концов отрезка имеет либо точку разрыва второго рода, для которой верно, что функция при стремлении аргумента к данной точке устремляется к одному единственному из полюсов бесконечности (например к ), либо точку разрыва первого рода (здесь использовался тот факт, что g(a)=g(b)). Но отсюда вытекает, что также в одной из точек и терпит либо разрыв первого рода, либо разрыв второго рода того же типа, что я указал выше. Но для производных подобное невозможно - противоречие.
Аналогично доказывается для предположения

Это правильное рассуждение.

[ewert]

А как, собственно, доказывалась теорема Лагранжа? Она сводилась к теореме Ролля вычитанием подходящей линейной функции. Ну так и тут тоже надо свести всё к случаю $f'(a)=f'(b)=0$, вычтя подходящую квадратичную функцию. Возможная разрывность производной на концах в этом месте ни на что не влияет.

Теперь всё банально. Если производная не есть тождественный ноль, то $f'(x_0)=h\neq0$ в некоторой точке $x_0\in(a;b)$. Поскольку производная принимает все промежуточные значения, в некоторых точках $x_1\in(a;x_0)$ и $x_2\in(x_0;b)$ будет $f'(x_1)=\frac{h}2=f'(x_2)$ (ну например $\frac{h}2$, не важно). К отрезку $[x_1;x_2]$ теорема Ролля применима уже в лоб, поэтому $f''(c)=0$ для некоторого $c\in(x_1;x_2)$, вот и всё.

[Paul Ivanov]

Цитата:

Теперь всё банально. Если производная не есть тождественный ноль, то $f'(x_0)=h\neq0$ в некоторой точке $x_0\in(a;b)$. Поскольку производная принимает все промежуточные значения, в некоторых точках $x_1\in(a;x_0)$ и $x_2\in(x_0;b)$ будет $f'(x_1)=\frac{h}2=f'(x_2)$ (ну например $\frac{h}2$, не важно). К отрезку $[x_1;x_2]$ теорема Ролля применима уже в лоб, поэтому $f''(c)=0$ для некоторого $c\in(x_1;x_2)$, вот и всё.

ewert, в том то и дело, что если функция разрывная на концах, то она даже в силу своей непрерывности на интервале вовсе не обязательно должна принимать даже один раз значение $h/2$. Поэтому возможную разрывность в доказательстве обойти не получается.

[ewert]

Paul Ivanov в сообщении #1328922 писал(а):

в том то и дело, что если функция разрывная на концах, то она даже в силу своей непрерывности на интервале вовсе не обязательно

А мы концы уже обошли. Те самые иксы -- что первый, что второй -- уже суть внутренние точки исходного промежутка. Внутри же всё что только возможно -- непрерывно.