Еще один вопросик про вариацию.

[AD]

Пусть периодическая функция $f$ принадлежит классу $\mathrm{Lip}_1$, то есть существует константа $C>0$ такая, что $|f(x+h)-f(x)|\le Ch$. Можно ли утверждать, что для некоторой константы $K>0$ будет
$\mathop{\mathrm{Var\,}}\limits_{x\in T}\bigl(f(x+h)-f(x)\bigr)\le Kh$
при достаточно малых $h$?
В смысле вариация на одном периоде "по букве $x$", а $h$ -- параметр.
Меня пока хватило только на тривиальное $\le 2C|T|$.

Если нет, то при каких условиях на $f$ это можно утверждать?
Я так попробовал -- вроде бы ограниченности второй производной достаточно, но, по-моему, это слишком жестко.

[ewert]

я лично не понял вопроса. Разве из липшицевости не следует ограниченность вариации?

[AD]

ewert, а вы его прочитали? Как-то вы у меня в темах невпопад всё.

Меня интересует: если чуть-чуть сдвинуть функцию вправо, а потом вычесть исходную, то как будет зависеть вариация этой разности от величины сдвига? Будет ли О-большим?

Добавлено спустя 59 секунд:

Класс Липшица я взял от балды, вобщем-то. Просто и там и там $O(h)$.

Добавлено спустя 1 час 7 минут 44 секунды:

Подозреваю, что именно было не понятно, поэтому еще уточню: оценка интересует при $h\to0$. Исправлю сейчас первый пост. UPD.: исправил.

[Gafield]

Для гладких функций вариация равна интегралу от модуля производной. Поэтому сначала надо проверить, выполняется ли равенство $V[f] =\int_0^T|f'(x)|\,dx$ для липшицевых функций (или ограничиться классом $C^1$). Тогда вопрос сведется к оценке $\int_0^T|g(x+h)-g(x)|\,dx$ для $g\in L_\infty$. Функции из $L_1$ непрерывны в целом, поэтому последний интеграл будет стремиться к нулю при $h\to0$. А порядок стремления можно попытаться получить из доказательства этого факта с учетом того, что $g\in L_\infty$.

[zoo]

Gafield писал(а):

Для гладких функций вариация равна интегралу от модуля производной. Поэтому сначала надо проверить, выполняется ли равенство $V[f] =\int_0^T|f'(x)|\,dx$ для липшицевых функций (или ограничиться классом $C^1$). Тогда вопрос сведется к оценке $\int_0^T|g(x+h)-g(x)|\,dx$ для $g\in L_\infty$. Функции из $L_1$ непрерывны в целом, поэтому последний интеграл будет стремиться к нулю при $h\to0$. А порядок стремления можно попытаться получить из доказательства этого факта с учетом того, что $g\in L_\infty$.

а что значит "Функции из $L_1$ непрерывны в целом"?

[AD]

Gafield писал(а):

сначала надо проверить, выполняется ли равенство $V[f] =\int_0^T|f'(x)|\,dx$ для липшицевых функций (или ограничиться классом $C^1$).

Это мне известно даже для AC-функций, тут проблем не будет.

Gafield писал(а):

Функции из $L_1$ непрерывны в целом, поэтому последний интеграл будет стремиться к нулю при $h\to0$. А порядок стремления можно попытаться получить из доказательства этого факта с учетом того, что $g\in L_\infty$

А вот тут уже не понятно, ибо единственное известное мне доказательство этого факта начинается со слов "для характеристической функции интервала утверждение очевидно". То есть никаких оценок.

Добавлено спустя 2 минуты 23 секунды:

zoo писал(а):

а что значит "Функции из $L_1$ непрерывны в целом"?

Думаю, как раз это и значит - что вот тот интеграл к нулю стремится. То есть $f(x+h)\xrightarrow[h\to0]{L_1}f(x)$. Кстати, для любой измеримой функции тут будет сходимость по мере. И, конечно же, во всех точках непрерывности (и только в них).

[zoo]

AD писал(а):

Пусть периодическая функция $f$ принадлежит классу $\mathrm{Lip}_1$, то есть существует константа $C>0$ такая, что $|f(x+h)-f(x)|\le Ch$. Можно ли утверждать, что для некоторой константы $K>0$ будет
$\mathop{\mathrm{Var\,}}\limits_{x\in T}\bigl(f(x+h)-f(x)\bigr)\le Kh$
при достаточно малых $h$?
В смысле вариация на одном периоде "по букве $x$", а $h$ -- параметр.
Меня пока хватило только на тривиальное $\le 2C|T|$.

Если нет, то при каких условиях на $f$ это можно утверждать?
Я так попробовал -- вроде бы ограниченности второй производной достаточно, но, по-моему, это слишком жестко.

я бы попробовал рассмотреть в качестве примера пилу полученную из модулей икс с очень частыми зубами. Для такой функции все можно посчитать руками

[AD]

zoo ... Хмм, хорошо, поэкспериментирую.

_________________
Чтобы не поднимать тему только чтобы сказать, что все решилось, пишу тут.

Да, пока форум лежал, а потом я сидел на даче, тоже доразбирался с пилой; если поставить зубчики на отрезках $\bigl[\frac1n,\frac1{n-1}\bigr]$, то получается не меньше $O(\sqrt{h})$. Не знаю пока, можно ли это проэксплуатировать в исходной задачке, т.к. этому предшествовали весьма грубые оценки.

Тем не менее, похоже, оценка прокатывает для так называемых $\mathrm{VB}_2$-функций (это неопределенные интегралы от $\mathrm{VB}$-функций, они же разности выпуклых функций, ну и вторая вариация тоже примерно как обычная определяется, через вторые разности).

Для zoo, про исходную задачу: ну это я как-то самопроизвольно заинтересовался свертками в смысле неабсолютных интегралов. Указанное условие является почти очевидным достаточным условием, которое надо наложить на одну из функций, чтобы свертка в смысле, скажем, широкого интеграла Данжуа с любой другой функцией была VBшной.

[zoo]

AD писал(а):

zoo ... Хмм, хорошо, поэкспериментирую.

если не секрет, а каково происхождение этих вопросов, этоже какая-то техника, а что исходная задача собой представляет?

[Gafield]

Цитата:

А вот тут уже не понятно, ибо единственное известное мне доказательство этого факта начинается со слов "для характеристической функции интервала утверждение очевидно". То есть никаких оценок.

Ну, для характеристической функции очевидна также и требуемая оценка. Отсюда получаем, что и для элементарных функций верно.

Gafield писал(а):

с учетом того, что $g\in L_\infty.$

[zoo]

AD писал(а):

Думаю, как раз это и значит - что вот тот интеграл к нулю стремится. То есть $f(x+h)\xrightarrow[h\to0]{L_1}f(x)$.

ok просто никогда не слышал такого термина

AD писал(а):

Idea Кстати, для любой измеримой функции тут будет сходимость по мере. И, конечно же, во всех точках непрерывности (и только в них).

садись "5":)

[Gafield]

Для элементарных функций оценка будет, но не равномерной ( не оценивается через норму в $L_\infty$, а общий ответ на исходный ворпрос - нет. Разобьем отрезок [0,1] на полуинтервалы вида $(2^{-n},2^{n-1}]$, $n\in \mathbb N$, и рассмотрим 1-периодическию функцию $g$, равную 1 на левой половине полуинтервалов и нулю на правой. Тогда для $h=2^{-n}$ интеграл $\int_0^1|g(x+h)-g(x)|\,dx$ будет равен по порядку величины $n2^{-n} $, т.е. $h|\ln h|$.