Особые точки и сепаратрисы

[Charlz_Klug]

Производная же это "мгновенная скорость" изменения функции? А тут ничего не меняется ни на каком отрезке.

-- 19.07.2018, 17:41 --

Мне аж даже интересно стало.

-- 19.07.2018, 17:46 --

Если подойти к задаче так, как её предлагает решать The Thing, то из $y^2+x^2=C$, при их рисовании, будут получаться окружности концентрические с центром в начале координат, причём ни одна окружность не будет проходить через начало координат.

[thething]

Charlz_Klug в сообщении #1327661 писал(а):

Производная же это "мгновенная скорость" изменения функции?

Да просто взгляните на чёткое определение производной -- и всё поймёте. Определение начинается со слов "пусть..."

-- 19.07.2018, 19:06 --

Charlz_Klug в сообщении #1327661 писал(а):

Если подойти к задаче так, как её предлагает решать The Thing, то из $y^2+x^2=C$, при их рисовании, будут получаться окружности концентрические с центром в начале координат, причём ни одна окружность не будет проходить через начало координат.

Вообще, я не совсем это предлагал (см. начало темы), а поисследовать тип особой точки. Но в Вашей книге до этого не дошли, определение там (как я понял) проверяется геометрически, ибо никаких дополнительных разъяснений не даётся. Так и делайте геометрически.
Конкретно в Вашем многострадальном примере особая точка имеет тип "центр", что означает, что никаких сепаратрис в этом случае нет. Ну, Вы и сами это уже увидели на рисунке.

[Someone]

Charlz_Klug в сообщении #1327661 писал(а):

Производная же это "мгновенная скорость" изменения функции?

Нет. Посмотрите же наконец точное определение производной.

[Charlz_Klug]

Someone в сообщении #1327669 писал(а):

Charlz_Klug в сообщении #1327661 писал(а):

Производная же это "мгновенная скорость" изменения функции?

Нет. Посмотрите же наконец точное определение производной.

Я уже боюсь спрашивать, но рискну. А это:

Зорич. Математический анализ Часть I. Страница 208. писал(а):

Величина

$$f'(a) = \lim_{E \ni x \to a}\dfrac{f(x) - f(a)}{x - a}$$

называется производной функции $f$ в точке $a$.
где функция $f: E \to \mathbb{R}$ определена на множестве $E \subset \mathbb{R}$.

Точное определение?

[Someone]

Charlz_Klug в сообщении #1327680 писал(а):

Точное определение?

Нет. Во-первых, оно сформулировано для слишком общей ситуации, Вам лучше вариант, в котором ограничиваются интервалами. Во-вторых, Вы наверняка проигнорировали предыдущий текст, в котором что-то было сказано про $E$ и про точку $a$ (возможно, про это было сказано в определении предела; у меня книжки Зорича нет).

[Charlz_Klug]

Someone в сообщении #1327684 писал(а):

Во-вторых, Вы наверняка проигнорировали предыдущий текст, в котором что-то было сказано про $E$ и про точку $a$ (возможно, про это было сказано в определении предела; у меня книжки Зорича нет).

До этого шло такое:

Цитата:

Функция $f:E \to \mathbb{R}, определённая на множестве $E \subset \mathbb{R}$, называется дифференцируемой в точке $a \in E$, предельной для множества $E$, если существует такая линейная относительно приращения $x-a$ аргумента функции $A \cdot (x-a)$, что приращение $f(x)-f(a)$ функции $f$ представляется в виде

$$f(x)-f(a)=A \cdot (x-a)+o(x-a)$$

при $x \to a, x \in E$.
Иными словами, функция дифференцируема в точке $a$, если изменение её значений в окрестности исследуемой точки линейно с точностью до поправки, бесконечно малой по сравнению с величиной $x-a$ смещения от точки $a$.

-- 20.07.2018, 14:20 --

thething в сообщении #1327665 писал(а):

Да просто взгляните на чёткое определение производной -- и всё поймёте. Определение начинается со слов "пусть..."

Извините, но не нашёл определения производной со слов "пусть..."

-- 20.07.2018, 14:52 --

thething в сообщении #1327665 писал(а):

Да просто взгляните на чёткое определение производной -- и всё поймёте. Определение начинается со слов "пусть..."

Хотя

Кудрявцев. Математический анализ (Том I). Страница 121. писал(а):

Пусть функция $y=f(x)$ определена в некоторой окрестности точки $x_0$ и пусть $x$ — некоторая точка этой окрестности, $x \ne x_0$. Если отношение

$$\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

имеет предел при $x \to x_0$, то этот предел называется производной функции $f$ в точке $x_0$ и обозначается $f'(x_0)$.

[Someone]

Charlz_Klug в сообщении #1327839 писал(а):

Извините, но не нашёл определения производной со слов "пусть..."

На слове "пусть" свет клином не сошёлся. Но в процитированном Вами отрывке соответствующий текст есть:

Charlz_Klug в сообщении #1327839 писал(а):

называется дифференцируемой в точке $a \in E$, предельной для множества $E$

Поскольку у Вас область определения функции состоит из одной точки, применить к этой функции определение производной никак не удастся.
Теперь ещё надо учесть, что решение дифференциального уравнения на произвольном подмножестве числовой прямой не рассматривается, только на связном (Как думаете, почему?), а если не рассматривать односторонние производные, то на интервале (конечном или бесконечном). Поэтому множество $E$ нужно заменить интервалом.

[thething]

Someone в сообщении #1327865 писал(а):

На слове "пусть" свет клином не сошёлся.

Безусловно. Я это лишь подчеркнул, чтобы ТС взял строгое определение, а не только формулу из него, или какой-нибудь физический смысл. Вот он и нашёл то, что требуется: "пусть функция определена в окрестности..."

[Charlz_Klug]

Someone в сообщении #1327865 писал(а):

Поскольку у Вас область определения функции состоит из одной точки, применить к этой функции определение производной никак не удастся.

Спасибо за ответ!

Someone в сообщении #1327865 писал(а):

Теперь ещё надо учесть, что решение дифференциального уравнения на произвольном подмножестве числовой прямой не рассматривается, только на связном (Как думаете, почему?), а если не рассматривать односторонние производные, то на интервале (конечном или бесконечном).

Мне надо определиться с тем, что понимается в этом случае под "связным подмножеством". Поискал определения, но конкретные не нашёл. То, что я выцедил из того, что нашёл: связное подмножество числовой прямой — это такое подмножество числовой прямой, в котором мы можем непрерывно перемещаться между двумя произвольными точками этого подмножества не нарушая некоторое условие. Это так?

-- 20.07.2018, 16:46 --

thething, спасибо за урок!

[Someone]

Charlz_Klug в сообщении #1327897 писал(а):

Мне надо определиться с тем, что понимается в этом случае под "связным подмножеством".

Образно выражаясь — которое не распадается на отдельные куски. Например, промежутки $(a,b)$, $[a,b)$, $(a,b]$, $[a,b]$ связные, а объединение $[-1,0)\cup(0,1]$ — нет. Множество рациональных чисел тоже не связное. И множество иррациональных чисел не связное. Более формальное определение можно сформулировать, но это требует определённых усилий.

[Charlz_Klug]

Someone в сообщении #1327865 писал(а):

Теперь ещё надо учесть, что решение дифференциального уравнения на произвольном подмножестве числовой прямой не рассматривается, только на связном (Как думаете, почему?), а если не рассматривать односторонние производные, то на интервале (конечном или бесконечном).

Из-за того, что на несвязном множестве возникают разрывы в решении дифференциального уравнения?

[Someone]

Charlz_Klug в сообщении #1327902 писал(а):

Из-за того, что на несвязном множестве возникают разрывы в решении дифференциального уравнения?

Нет. Из-за того, что функции, определённые на несвязанных частях, никак нельзя связать друг с другом. Например, если мы имеем решение дифференциального уравнения на интервале $(-1,0)$ и решение на интервале $(0,1)$, то никакой связи между ними нет. Вот если бы каждую из этих функция можно было продолжить в точку $0$ с сохранением непрерывности и нужного количества производных, то мы могли бы сравнить эти функции и определить, являются ли они частями одного решения.

[Charlz_Klug]

Someone в сообщении #1327916 писал(а):

Например, если мы имеем решение дифференциального уравнения на интервале $(-1,0)$ и решение на интервале $(0,1)$, то никакой связи между ними нет.

Сложно. Чем же обусловлена эта несвязность: характером какого-либо конкретно взятого дифференциального уравнения, либо просто в условии задачи записано рассматривать строго в конкретно взятом интервале?. Например: дано решить дифференциальное уравнение $y'=2x$ на промежутке $(-1,0)$? И где про это прочитать?

[Someone]

Charlz_Klug в сообщении #1327927 писал(а):

Чем же обусловлена эта несвязность

Просто тем, что функции на двух отдельных интервалах никак не связаны.

Charlz_Klug в сообщении #1327927 писал(а):

Например: дано решить дифференциальное уравнение $y'=2x$ на промежутке $(-1,0)$? И где про это прочитать?

Прочитать про то, как решить дифференциальное уравнение на каком-то интервале? А Вы не знаете, как решаются такие уравнения? Вы же, вроде бы, это должны были уже изучить, раз Вам задачи на отыскание сепаратрис дают. Но здесь всё просто: общее решение имеет вид $y=x^2+C$ на любом интервале. Допустим, Вы рассматриваете два интервала: $(-1,0)$ и $(0,1)$. На первом, допустим, задано начальное условие $y\vert_{x=-\frac 12}=1$, а на втором — $y\vert_{x=\frac 12}=-1$. Тогда на первом интервале у нас будет решение $y=x^2+\frac 34$, а на втором — $y=x^2-\frac 54$.
Но в этом примере каждое решение можно продолжить на всю числовую ось.

А вот рассмотрите уравнение $y'=\frac 1x$. Здесь нельзя продолжить решение через точку $x=0$.

[Charlz_Klug]

Someone в сообщении #1327934 писал(а):

Прочитать про то, как решить дифференциальное уравнение на каком-то интервале? А Вы не знаете, как решаются такие уравнения? Вы же, вроде бы, это должны были уже изучить, раз Вам задачи на отыскание сепаратрис дают.

Как уравнения такого вида решаются я знаю. Я думал что общее решение оказывается разным для разных интервалов. А речь шла про решение при конкретных начальных условиях. Спасибо Вам за терпение и разъяснения!