Определение многообразия

[pogulyat_vyshel]

А чем плохо следующее определение многообразия?

Через $\|\cdot\|$ обозначим $\ell_\infty$-норму $\mathbb{R}^N=\{(x^1,\ldots,x^N)\},\quad B_r(x)=\{y\in\mathbb{R}^N\mid\|y-x\|<r\}$.

Определение. Многообразием размерности $n$ класса гладкости $C^k$ называется множество $M\subset\mathbb{R}^N$ такое, что для любой точки $u\in M$ найдутся шар $B_r(u),\quad r>0,$, набор различных индексов $\{i_1,\ldots,i_n\}\subset\{1,\ldots,N\}$ и набор функций
$f^p(x^{i_1},\ldots,x^{i_n}),\quad p\in \{1,\ldots,N\}\backslash \{i_1,\ldots,i_n\}$ $C^k$-гладких на множестве $\{\|x^{i_1}\|<r,\ldots ,\|x^{i_n}\|<r\}$ и таких, что
что множество $M\bigcap B_r(u)$ является графиком отображения $x^p=f^p(x^{i_1},\ldots,x^{i_n})$.

[Geen]

В этом определении, как я понимаю, явным образом требуется вложение в $\mathbb{R}^N$.
И "график функции" не нравится...