Доказать без калькулятора

[ps16015]

$ \left ( \frac{12}{11} \right )^{\sqrt{6}}>\left ( \frac{11}{10} \right )^{\sqrt{5}}$

Док-во:
$\sqrt{6}=\sqrt{5}+\sqrt{11-2\sqrt{30}} \implies \left ( \frac{12}{11} \right )^{\sqrt{5}}\cdot \left ( \frac{12}{11} \right )^{\sqrt{11-2\sqrt{30}}}>\left ( \frac{11}{10} \right )^{\sqrt{5}}\implies \left ( \frac{12}{11} \right )^{\sqrt{\frac{11-2\sqrt{30}}{5}}}>\frac{121}{120} $

Но

$\sqrt{\frac{11-2\sqrt{30}}{5}}>\frac{1}{\sqrt{11}}>\frac{1}{4}$

И тогда остаётся проверить что

$\frac{12}{11}>\left(\frac{121}{120}\right)^4$

Или что то же что и

$12^5\cdot 10^4> 11^9$

В чем можно убедиться при помощи бумаги и ручки.




Проверьте, пожалуйста.
При необходимости могу дополнить промежуточные ходы.

[TOTAL]

ps16015 в сообщении #1327557 писал(а):

Проверьте, пожалуйста.
При необходимости могу дополнить промежуточные ходы.

Начните вот так (и очень быстро найдете ошибку)

$\sqrt{6}=\sqrt{5}+(\sqrt{6}-\sqrt{5})$

[wrest]

ps16015 в сообщении #1327557 писал(а):

Но

$\sqrt{\frac{11-2\sqrt{30}}{5}}>\frac{1}{\sqrt{11}}$

Это неравенство неверное.

[ps16015]

$\left ( \frac{12}{11} \right )^{\sqrt{6}}>\left ( \frac{11}{10} \right )^{\sqrt{5}}$

Заметим что изначальное неравенство эквивалентно

$\sqrt{6}>\sqrt{5}\log_{\frac{12}{11}}\frac{11}{10}$

Что в свою очередь эквивалентно

$\sqrt{6}(\ln(12)-\ln(11))>\sqrt5(\ln(11)-\ln(10))$

Или

$\sqrt{6}\ln(12)+\sqrt5\ln(10)>\ln(11)(\sqrt6+\sqrt5)$

Рассмотрим теперь уравнение

$1+x+\frac{x^2}{2}=11$

Его решение есть

$x=\frac{-1+\sqrt{21}}{4}$

Теперь воспользуемся неравенством

$x>\ln\left(1+x+\frac{x^2}{2}\right)$

(его можно получить, например, из ряда для $e^x$)
И заметим что

$\ln(12),\ln(11)>2$

Тогда получим

$\sqrt{6}\ln(12)+\sqrt5\ln(10)>2(\sqrt6+\sqrt5)>\frac{-1+\sqrt{21}}{4}(\sqrt6+\sqrt5)>\ln(11)(\sqrt6+\sqrt5)$

Где в среднем неравенстве несложно убедиться.

Проверьте, пожалуйста.

[TOTAL]

ps16015 в сообщении #1327603 писал(а):

Тогда получим

$\sqrt{6}\ln(12)+\sqrt5\ln(10)>2(\sqrt6+\sqrt5)>\frac{-1+\sqrt{21}}{4}(\sqrt6+\sqrt5)>\ln(11)(\sqrt6+\sqrt5)$

Не получим.

[grizzly]

ps16015 в сообщении #1327603 писал(а):

$1+x+\frac{x^2}{2}=11$

Его решение есть $x=\frac{-1+\sqrt{21}}{4}$

Если бы Вы попытались решить это уравнение в уме, выделив полный квадрат, вряд ли тогда настолько ошиблись бы.

ps16015 в сообщении #1327603 писал(а):

Где в среднем неравенстве несложно убедиться.

Только с правильными корнями оно не выполняется.

Остальное не проверял -- выделил время на выборочную проверку из соображений "цена / качество".

[wrest]

ps16015
Поскольку здесь не ПРР, и не смотря на то что надо "доказать без калькулятора", ваши выкладки легко проверять например в вольфрам альфе. Вот решение уравнения $1+x+x^2/2=11$ : https://www.wolframalpha.com/input/?i=s ... 2%2F2%3D11

По неравенствам.

ps16015 в сообщении #1327603 писал(а):

$\sqrt{6}\ln(12)+\sqrt5\ln(10)>2(\sqrt6+\sqrt5)>\frac{-1+\sqrt{21}}{4}(\sqrt6+\sqrt5)>\ln(11)(\sqrt6+\sqrt5)$

Первое верно https://www.wolframalpha.com/input/?i=sqrt(6)*log(12)%2Bsqrt(5)*log(10)-2*(sqrt(6)%2Bsqrt(5))
Второе https://www.wolframalpha.com/input/?i=2*(sqrt(6)%2Bsqrt(5))-((-1%2Bsqrt(21))%2F4)*(sqrt(6)%2Bsqrt(5)) тоже верно, но если подставить правильный корень ($x=\sqrt{21}-1$), то неверно: https://www.wolframalpha.com/input/?i=2*(sqrt(6)%2Bsqrt(5))-((-1%2Bsqrt(21)))*(sqrt(6)%2Bsqrt(5))

[TOTAL]

wrest в сообщении #1327623 писал(а):

ps16015
Поскольку здесь не ПРР, и не смотря на то что надо "доказать без калькулятора", ваши выкладки легко проверять например в вольфрам альфе. Вот решение уравнения $1+x+x^2/2=11$ : https://www.wolframalpha.com/input/?i=s ... 2%2F2%3D11

По неравенствам.

ps16015 в сообщении #1327603 писал(а):

$\sqrt{6}\ln(12)+\sqrt5\ln(10)>2(\sqrt6+\sqrt5)>\frac{-1+\sqrt{21}}{4}(\sqrt6+\sqrt5)>\ln(11)(\sqrt6+\sqrt5)$

Не нужны никакие вольфрамы, т.к. здесь очевидно неверное неравенство
$2>\ln(11)$