Особые точки и сепаратрисы

[Charlz_Klug]

Someone в сообщении #1327511 писал(а):

А что, уравнению

Charlz_Klug в сообщении #1327466 писал(а):

$$\dfrac{dy}{dx} = - \dfrac{x}{y}.$$

это тоже удовлетворяет? Вы подставить не пробовали?

Нет, не пробовал. Попробовал подставить $y^2=-x^2$. Дифференцирую обе части: $2yy' = -2x$, отсюда получаю $y'=- \dfrac{x}{y}$. Вроде как удовлетворяет. Но если считать что там только одна точка $x=0$ и $y=0$, то я даже не знаю. Деление на ноль выходит.

[Someone]

Charlz_Klug в сообщении #1327518 писал(а):

Но если считать что там только одна точка $x=0$ и $y=0$

А что, у Вас есть какие-то сомнения? Тогда укажите другую точку.

Charlz_Klug в сообщении #1327518 писал(а):

Деление на ноль выходит.

Там проблема не только в делении. Производную-то Вы как будете определять?

[Charlz_Klug]

Someone в сообщении #1327526 писал(а):

Charlz_Klug в сообщении #1327518 писал(а):

Но если считать что там только одна точка $x=0$ и $y=0$

А что, у Вас есть какие-то сомнения? Тогда укажите другую точку.

Других точек, к сожалению, не знаю.

Someone в сообщении #1327526 писал(а):

Там проблема не только в делении. Производную-то Вы как будете определять?

Это вы про $y=\pm \sqrt{-x^2}$? Да, это проблема. Тут я бессилен. В этом случае я не знаю как определять производную.

[Someone]

Charlz_Klug в сообщении #1327533 писал(а):

Других точек, к сожалению, не знаю.

Что значит "не знаю"? Вас в школе учили уравнения решать?

Charlz_Klug в сообщении #1327533 писал(а):

В этом случае я не знаю как определять производную.

Наверное, надо освежить в памяти определение производной. И попытаться применить его в данном конкретном случае.

[Charlz_Klug]

Someone в сообщении #1327537 писал(а):

Charlz_Klug в сообщении #1327533 писал(а):

Других точек, к сожалению, не знаю.

Что значит "не знаю"? Вас в школе учили уравнения решать?

Я имел ввиду, что кроме $x=y=0$ у меня не выходит других решений.

Someone в сообщении #1327537 писал(а):

Наверное, надо освежить в памяти определение производной. И попытаться применить его в данном конкретном случае.

Хотя, можно же записать и так: $y=\pm \sqrt{-x^2} = \pm x \sqrt{-1}=\pm i x$. Если уже от этой функции взять производную, тогда получаем $y'=\pm i$. В условии $\dfrac{dy}{dx} = - \dfrac{x}{y}$. Поскольку $y=\pm i x$, то имеем
$\dfrac{dy}{dx} = - \dfrac{x}{y} = - \dfrac{x}{\pm i x} = - \dfrac{1}{\pm i}$. Домножим числитель и знаменатель на $i$ получаем $- \dfrac{1}{\pm i} = - \dfrac{i}{\pm \cdot -1} = \pm i$. То есть, сходится с условием. Но что-то мне говорит, что я где-то ошибаюсь. Я думаю, наличие мнимой единицы всё же тут не подходит.

[thething]

Charlz_Klug
$\sqrt{x^2}=\left\lvert x\right\rvert$

[Charlz_Klug]

thething в сообщении #1327570 писал(а):

Charlz_Klug
$\sqrt{x^2}=\left\lvert x\right\rvert$

Точно, спасибо!

[Someone]

Charlz_Klug в сообщении #1327541 писал(а):

Хотя, можно же записать и так: $y=\pm \sqrt{-x^2} = \pm x \sqrt{-1}=\pm i x$.

Нельзя. У нас все функции действительные. Так что определение производной придётся вспоминать.

Charlz_Klug в сообщении #1327541 писал(а):

имел ввиду, что кроме $x=y=0$ у меня не выходит других решений.

Что значит — "не выходит"? Другие решения есть или нет? Если есть, надо их предъявить. Если нет — объяснить, почему нет.

[Charlz_Klug]

Someone в сообщении #1327582 писал(а):

Charlz_Klug в сообщении #1327541 писал(а):

Хотя, можно же записать и так: $y=\pm \sqrt{-x^2} = \pm x \sqrt{-1}=\pm i x$.

Нельзя. У нас все функции действительные. Так что определение производной придётся вспоминать.

Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчесления. Страница 62 писал(а):

Производной данной функции $y=f(x)$ по аргументу $x$ называется предел отношения приращения функции $\Delta y$ к приращению аргумента $x$, когда последнее произвольным образом стремится к нулю.

В моём примере $y=\pm\sqrt{-x^2}$, для определённости возьму $y=\sqrt{-x^2}$. И попробую найти производную в точке $x=0$. Пусть $\Delta x >0$, тогда $\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{\sqrt{-(\Delta x)^2}}{\Delta x} = \dfrac{\Delta x \sqrt{-1}}{\Delta x} = \sqrt{-1}$. И при переходе к пределу $\Delta x \to 0$ получаем

$$\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \sqrt{-1}$$

Теперь возьму $\Delta x < 0$, тогда получается $\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{-\Delta x \sqrt{-1}}{\Delta x} = - \sqrt{-1}$. И при предельном переходе $\Delta x \to 0$ получаем $\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = - \sqrt{-1}$. А по определению производной при любом стремлении $\Delta x$ к нулю результат должен быть одинаков.

Someone в сообщении #1327582 писал(а):

Charlz_Klug в сообщении #1327541 писал(а):

имел ввиду, что кроме $x=y=0$ у меня не выходит других решений.

Что значит — "не выходит"? Другие решения есть или нет? Если есть, надо их предъявить. Если нет — объяснить, почему нет.

Поскольку особой точкой по учебнику считается точка в которой не определено поле направлений, то неопределена она только в точке $\{x=0,y=0\}$.

[Someone]

Charlz_Klug в сообщении #1327610 писал(а):

В моём примере $y=\pm\sqrt{-x^2}$, для определённости возьму $y=\sqrt{-x^2}$.

О, боже!

[Charlz_Klug]

Можно даже положить $x>>1$ тогда при $\Delta x>0$ получается производная $\sqrt{-1}$, а при $\Delta x <0$ производная $-\sqrt{-1}$.

[Charlz_Klug]

Someone в сообщении #1327625 писал(а):

Charlz_Klug в сообщении #1327610 писал(а):

В моём примере $y=\pm\sqrt{-x^2}$, для определённости возьму $y=\sqrt{-x^2}$.

О, боже!

Насколько я знаю, не принято писать $\Delta y = \pm |x+\Delta x|\sqrt{-1}-(\pm|x|\sqrt{-1})$. Поэтому и взял $y=\sqrt{-x^2}$, хотя, если вы против могу, до кучи, взять функцию $y=-\sqrt{-x^2}$. В совокупности, эти две функции и дадут $y=\pm \sqrt{-x^2}$.

[Someone]

Charlz_Klug в сообщении #1327650 писал(а):

хотя, если вы против могу, до кучи, взять функцию $y=-\sqrt{-x^2}$.

Вы в школе-то математику хоть как-нибудь изучали? Или просто мимо проходили?
Такие слова, как "область определения функции", "область допустимых значений" или что-нибудь похожее, не припоминаются? Какая область определения у функции $f(x)=\sqrt{-x^2}$?
Можете ли Вы указать действительное число, квадрат которого равен $-1$?

[Charlz_Klug]

Someone в сообщении #1327655 писал(а):

Такие слова, как "область определения функции", "область допустимых значений" или что-нибудь похожее, не припоминаются?

Это все те значения, которые может принимать $x$.

Someone в сообщении #1327655 писал(а):

Какая область определения у функции $f(x)=\sqrt{-x^2}$?

У функции, записываемой как $f(x)=\sqrt{-x^2}$, областью определения является точка $x=0$.

Someone в сообщении #1327655 писал(а):

Можете ли Вы указать действительное число, квадрат которого равен $-1$?

Такого действительного числа просто не существует. Но всё равно непонятно что не так c $y^2+x^2=0$.

-- 19.07.2018, 17:38 --

Насколько я понимаю, выражение $y^2+x^2=0$ определено только при $y=x=0$ и из-за этого у него не может быть производных.

[Someone]

Charlz_Klug в сообщении #1327659 писал(а):

Но всё равно непонятно что не так c $y^2+x^2=0$.

У меня с этим уравнением проблем нет. А вот у Вас всё плохо. И не только с этим уравнением, но и с определением производной. И, вероятно, с его применением тоже будут проблемы.