Линейная зависимость на участке нелинейной функции

[B@R5uk]

mihaild в сообщении #1327459 писал(а):

можно домножить на $e^\frac{1}{x^2}$, тогда получится гладкая

Строго говоря, при умножении на такой множитель в нуле появляется разрыв (устранимый), так что без "птички" в записи модифицированной функции об гладкости не может быть и речи.

-- 19.07.2018, 00:37 --

Jendose в сообщении #1327211 писал(а):

Т.е., естественно, функция должна быть задана одной формулой. Есть ли такая функция, график которой на одних участках имеет нелинейную зависимость, а на других – линеен? Если нет, то как доказать это? Вроде ясно сформулировал

Это называется "чуйкой чую, а словами выразить не могу". Есть такой класс функций, надо заметить очень хороших функций, называется он аналитические функции. Требование аналитичности функции очень сильное требование, поэтому те свойства, которые вы описали (линейность в одном участке, нелинейность на другом) в этом классе не возможны в принципе. Но большинство элементарных функций попадает в этот класс.

Эти функции обладают замечательной особенностью: если они определены на каком-нибудь небольшом отрезке, то пользуясь этим знанием об функции на этом отрезке можно доопределить эту функцию на всей вещественной оси (кроме, может быть, некоторого числа выколотых точек). То есть каждый кусочек функции на небольшой области определения несёт в себе полную информацию об функции на всей области определения (которая, кстати, простирается гораздо шире вещественной оси). Разумеется, доопределённая функция существует только одна (в классе аналитический функций). Так что, если функция линейна на одном участке, то следуя процедуре доопределния можно получить только линейную функцию на всех других участках (с тем же наклоном и постоянным слагаемым).

Чтобы это доказать нужно изучить курс матанализа и ТФКП.