Особые точки и сепаратрисы

[Charlz_Klug]

Правильно ли решено?
Задача:
Найти особые точки и сепаратрисы для следующих уравнений:
$\dfrac {dy}{dx} = - \dfrac {\sin{x}}{y}$;
$\dfrac {dy}{dx} = \dfrac {x^3 - x^5}{y}$;
$\dfrac {dy}{dx} = \dfrac {x^2-x^4}{y}$.

Решение:
Особые точки для уравнения $\dfrac {dy}{dx} = - \dfrac {\sin{x}}{y}$:
$\sin{x}=0 \Rightarrow x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$, $y=0$. Следовательно, особыми точками будут $(\pi k, 0)$. Общее решение уравнения: $y^2 = 2 \cos{x} + C$. Ищем сепаратрисы:
Если $k = 2 m, m \in \mathbb{Z}$, то $\cos{2m \pi} = 1$ и общее уравнение принимает вид $y^2 = 2 + C$, подставляю $y=0$ получаю:
$0 = 2 + С \Rightarrow C = -2$. Отсюда получаю $y^2 = 2 \cos{x} -2$ — ряд точек (сепаратриса?).
Ищу сепаратрису для $k = 2m + 1, m \in \mathbb{Z}$. Получаю что $\cos{(2m+1) \pi} = -1$. Отсюда $0 = -2 + C \Rightarrow C = 2$. Отсюда $y^2= 2 \cos{x} +2$.

Теперь ищу особые точки для $\dfrac {dy}{dx} = \dfrac {x^3 - x^5}{y}$. Получаю $x^3 - x^5 = 0 \Rightarrow x^3 (1 - x^2) = 0 \Rightarrow x^3(x-1)(x+1) = 0$. То есть, $x_1 = -1, x_2 = 0, x_3 = 1$. И $y = 0$.
Общее решение этого уравнения: $y^2 = \dfrac {x^4}{2} - \dfrac {x^6}{3} + C$. Для точки $(0,0)$ получаю $C=0$. И сепаратриса имеет вид $y^2 = \dfrac {x^4}{2} - \dfrac {x^6}{3}$.
Для точек $(-1,0)$ и $(1,0)$ получаю $C=- \dfrac{1}{6}$. Таким образом $y^2 = \dfrac {x^4}{2} - \dfrac {x^6}{3}- \dfrac{1}{6}$. (Можно ли назвать эту функцию кривой? Не знаю. Прошу ответа.)

Теперь по уравнению $\dfrac {dy}{dx} = \dfrac {x^2-x^4}{y}$. Для уравнения $x^2-x^4 = 0$, корни $x_1 = -1, x_2 = 0, x_3 = 1$. И $y =0$. А значит, особыми точками будут $(-1,0)$, $(0,0)$, $(1,0)$.
Общим решением будет: $y^2 = \dfrac{2}{3}x^3-\dfrac{2}{5}x^5+C$.
Для точки $(-1,0)$ получаю $C=\dfrac{4}{15}$. И сепаратриса $y^2 = 2 \left (\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^5}{5}\right ) + \dfrac{4}{15}$.
Для точки $(0,0)$ получаю $C=0$. И сепаратриса $y^2 = 2 \left (\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^5}{5}\right )$.
Для точки $(1,0)$ получаю $C=-\dfrac{4}{15}$. И сепаратриса $y^2 = 2 \left (\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^5}{5}\right )-\dfrac{4}{15}$.

[thething]

Charlz_Klug в сообщении #1324712 писал(а):

Найти особые точки и сепаратрисы

Если я правильно понял задание, то Вам надо не только найти особые точки, но ещё и определить их тип. Сепаратрисы определяются для особой точки типа "седло". И по определению -- это прямые, направленные вдоль собственных векторов.

Ну, либо у Вас какое-то другое определение, поэтому приведите его, если Вас не затруднит.

[Red_Herring]

thething в сообщении #1324818 писал(а):

Ну, либо у Вас какое-то другое определение, поэтому приведите его, если Вас не затруднит.

Хотя это полезно, но все же мне кажется, что ТС использует более употребительное определение.

[Otta]

У ТС по факту автономное уравнение второго порядка, там все проще. Хотя необходимости поиска седловых точек не отменяет.

(Оффтоп)

Сепаратрисы - необязательно прямые.

[GAA]

По первой задаче: $\dfrac {dy}{dx} = - \dfrac {\sin{x}}{y}$.
При четных $k$ у линеаризованной системы (двух автономных уравнений первого порядка) — центры, при нечётных — седла. Следовательно, и у исходной нелинейной при нечетных $k$ — седла. Это наблюдение облегчает исследование общего решения. Но можно и без исследования типа особых точек. Картинка хрестоматийная. Учитывая периодичность, можно рисовать только фрагмент. Жирными линиями выделены сепаратрисы.

Вложение:

PP.PNG

[thething]

(Otta)

Otta в сообщении #1324824 писал(а):

Сепаратрисы - необязательно прямые.

Йес) по привычке линейный случай приплёл

[Otta]

GAA в сообщении #1324830 писал(а):

Но можно и без исследования типа особых точек.

В общем-то да, тем более, что это не всегда целесообразно. Уж если на то пошло, гораздо больше информации даст устойчивость/неустойчивость положения равновесия. Но можно даже и без этого всего.

[dsge]

Поскольку системы Гамильтоновы, то будет проще выписать гамильтониан и приравнять его уровням, соответствующим седловым точкам (их можно определить по знаконеопределенности гессиана от гамильтониана в критических точках).

[Charlz_Klug]

thething
Определение в учебнике по обыкновенным дифференциальным уравнениям (страница 13, определение 1.12):

Цитата:

Сепаратрисой уравнения $\dfrac{dy}{dx} = f(x,y)$, примыкающей к данной точке, называется интегральная кривая, удовлетворяющая двум условиям:
1) особая точка принадлежит этой интегральной кривой;
2) сколь угодно близко от сепаратрисы существует интегральная кривая, не проходящая через особую точку.

[thething]

Ну Вы видите, что там в примерах не через все особые точки проходят сепаратрисы? Даже рисунок есть, как по интегральным кривым смотреть и выше уже приводили одно решение. Так что перепроверьте все Ваши точки.

[Charlz_Klug]

thething в сообщении #1325393 писал(а):

Ну Вы видите, что там в примерах не через все особые точки проходят сепаратрисы?

Вот это не понятно. Какие точки брать, какие нет. Начну с самого первого примера в книге.
Дано уравнение

$$\dfrac{dy}{dx} = - \dfrac{x}{y}.$$

Особой точкой является точка $\{x=0, y=0\}$.
Решаю уравнение: вышеприведённое дифференциальное уравнение можно записать так:

$$y dy = -x dx.$$

Интегрируя обе части получаю решение:

$$y^2+x^2=C.$$

Если подставить $\{x=0, y=0\}$ в это уравнение, то получаю, что $C = 0$. Тогда частное решение получается вида $y^2 + x^2 = 0$, или при другой записи $y^2 = - x^2$. Но $y^2 = - x^2$ это не функция кривой, и, следуя определению сепаратрисы, $y^2 = - x^2$ — не сепаратриса. Верны рассуждения?

[thething]

Charlz_Klug в сообщении #1327466 писал(а):

Вот это не понятно. Какие точки брать, какие нет.

Судя по изложению в книге, смотреть надо геометрически, постройте несколько интегральных кривых и посмотрите, выполняется ли определение (ситуация должна быть аналогична приведенному там дальше рисунку). Видимо, таким способом надо проверять все точки, и оставлять только те, которые удовлетворят определению.

[Someone]

Тихий ужас.

Charlz_Klug в сообщении #1327466 писал(а):

$$y^2+x^2=C.$$

Собственно, что это за кривая? Проходит ли она через особую точку?

[Charlz_Klug]

Someone в сообщении #1327472 писал(а):

Charlz_Klug в сообщении #1327466 писал(а):

$$y^2+x^2=C.$$

Собственно, что это за кривая? Проходит ли она через особую точку?

Если $C>0$, то $y^2+x^2=C$ — окружность с радиусом $\sqrt{C}$ и центром в начале координат. А если положить $C=0$, то проходит (почему я так считаю: положим $x=y=0$ и тогда $0^2+0^2=0$).

[Someone]

Charlz_Klug в сообщении #1327505 писал(а):

почему я так считаю: положим $x=y=0$ и тогда $0^2+0^2=0$

А что, уравнению

Charlz_Klug в сообщении #1327466 писал(а):

$$\dfrac{dy}{dx} = - \dfrac{x}{y}.$$

это тоже удовлетворяет? Вы подставить не пробовали?