Подготовка к матанализу

[Munin]

Otta в сообщении #1322913 писал(а):

Спасибо, я буду знать. У меня был вопрос, и он был к ТС.

Моё сообщение тоже было обращено скорее к ТС. И вашего вопроса оно не отменяет, как легко видеть.

[SomePupil]

Где-то был же второй набор задач. Кто знает, дайте ТС порешать.

[Munin]

SNet в сообщении #1322920 писал(а):

Я, как участвующий в олимпиадах по физике, достаточно давно знаю про такие вещи, как производная, интеграл, дифференциал. Даже почитывал в своё время книгу Зельдовича-Яглома. Так что если это всё неправильно, то уже давно существует необходимость переучивания

Не то, чтобы неправильно.

С точки зрения математиков, это неправильно, и придётся переучиваться. Но с такими математиками вы не столкнётесь на физическом направлении вуза. Только на математическом, или на форумах (где встречается и ещё больший экстремизм). С точки зрения физиков - всё правильно, и время не потрачено зря.

Парадокс вот какой. Математики учат строгим формулировкам, которых нет в Зельдовиче-Ягломе. Но если взять практические задачи, которые встречаются в физике, и сделать в них расчёты, то математики и физики будут писать ровно одно и то же. Однако математики для этого учатся намного дольше, и даже могут действовать медленней и неуверенней. Поэтому физики и смотрят на такое обучение как на излишнее.

Отсюда возникают вечные споры "как правильней" и "как преподавать". Выиграть в этих спорах нельзя, просто будьте в курсе, и не торопитесь занимать ту или иную позицию.

[wrest]

SNet в сообщении #1322941 писал(а):

Странные задачки, где подвох?

Производная от константы, и задачка про три шарика частенько смущают. В задачке 5 было бы логичнее ответить "уравнение не задано" (ведь там нет знака равенства).
Про эпсилон и дельту немного лишнего написали.

Задачки "детские", а вы молодец!

Возможно, кстати, по матану для вас будет небесполезной книжка сейчас и во время изучения
Б. Гелбаум, Дж. Олмстед. Контрпримеры в анализе.

[Otta]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1322958 писал(а):

Моё сообщение тоже было обращено скорее к ТС. И вашего вопроса оно не отменяет, как легко видеть.

Ну звиняйте. Так устроено восприятие: если тебя цитируют, но ни к кому другому не обращаются, значит, вероятнее всего, обращаются к тебе. Дефект в настроенности на диалог. )

[SNet]

Otta
Спасибо за такой интересный ответ!

Пункт 1 я рассматриваю не столько как отдельный, сколько как следствие второго (но ввиду значимости для физфака выделенное в отдельный). С другой стороны я и хочу в очень математизированную физику, пока взгляд падает на теорфизику и матфизику. Насколько я знаю, их отношения с математикой очень тёплые (кажется, вторая даже является её подмножеством), но тут могу ошибаться. В любом случае хоть мне и нравятся абстракции, хочется видеть за ними реальные объекты. И при этом видеть реальные объекты как можно больше математизированными (не для абстрагирования, а для точных операций). Например, мне напрочь было бы неинтересно разбирать линейные пространства, если бы я не знал, что пространство Минковского растёт оттуда. И работать в нём абстрактно уже приятно, поскольку я понимаю: это реальность и я смогу сделать выводы о поведении реальных систем.



Munin
Спасибо! Тогда всё не так плохо и можно было бы вернуться к изначальным вопросам (в особенности первому).
wrest
Благодарю за книгу. Бегу скачивать.

[Munin]

Я посоветую другую книгу
Маковецкий. Смотри в корень!

Это образец именно физического подхода к реальности. Пусть там мало расчётов, зато к ним учат относиться "на физически здравом уровне".

И кстати. Простенькая задача. Ваш рост (от земли до уровня глаз) 1 м 70 см. На каком расстоянии от вас находится горизонт?

P. S. Линейные пространства и в математике, и в физике на каждом шагу, так что указанная вами мотивация вызывает улыбку. Как минимум укажу, что любые векторные пространства (пространство скоростей, пространство ускорений), многие абстрактные пространства (например, $3N$-мерное пространство всех скоростей системы из $N$ частиц), пространства состояний квантовой механики - это всё примеры линейных пространств.

[pogulyat_vyshel]

SNet

вот вам задачка по физике, ну и по математике тоже http://dxdy.ru/post1322799.html#p1322799

[SNet]

Munin в сообщении #1322977 писал(а):

Я посоветую другую книгу
Маковецкий. Смотри в корень!

Спасибо, можно будет порешать во время отдыха.

Munin в сообщении #1322977 писал(а):

Ваш рост (от земли до уровня глаз) 1 м 70 см. На каком расстоянии от вас находится горизонт?

$\sqrt{2hR + h^2}$, где $R$ -- радиус Земли, $h$ -- мой рост (который чуть выше 1,7 м ). Красивая задача, спасибо!

Munin в сообщении #1322977 писал(а):

Линейные пространства и в математике, и в физике на каждом шагу

Да, конечно. То была скорее метафора.

-- 27.06.2018, 19:36 --

pogulyat_vyshel
Извиняюсь, я из интереса про точки Лагранжа полистал вниз и случайно увидел решение. :(

[Munin]

SNet в сообщении #1322979 писал(а):

$\sqrt{2hR + h^2}$, где $R$ -- радиус Земли, $h$ -- мой рост (который чуть выше 1,7 м :D ). Красивая задача, спасибо!

А теперь сравните эту формулу с приближённой (кстати, какой?). Каков порядок ошибки?
Ещё. Напишите формулу ещё более точную, чем ваша. Объясните, почему она более точная. Сравните с вашей, каков порядок ошибки?

[SNet]

Munin
Извините, в порядки величин и ошибки я не умею.

[Munin]

Вот, а это как раз то, что страшно (и постоянно) нужно физикам, и о чём мало говорят математики (да ещё и на таком языке, что поди расшифруй :-)

Смотрите. $\sqrt{2hR+h^2}=\sqrt{h(2R+h)}.$ А каково отношение $h$ к $2R$? По порядку величины - 1 к десяти миллионам. (Коэффициенты типа "полтора" в таких рассуждениях не учитываются.) Значит, если мы уберём слагаемое ${}+h$ из множителя $(R+h),$ то ошибёмся только в седьмом знаке после запятой. Заметьте, ведь мы и $R$ знаем намного грубее, так что реально мы даже и учесть это слагаемое не можем!

Теперь следующий шаг. А насколько у нас испортится результат расчёта по формуле? Представим её в виде $\sqrt{2Rh(1+\tfrac{h}{2R})}$ - а заменяем мы её на, соответственно, $\sqrt{2Rh}.$ Значит, нам надо оценить, насколько $\sqrt{1+\tfrac{h}{2R}}$ отличается от единицы, когда слагаемое $\tfrac{h}{2R}$ мало́. Это вполне математический вопрос, ответ на который

$\sqrt{1+\alpha}\approx 1+\tfrac{\alpha}{2}$

может быть найден через производную от $\sqrt{x}$ в окрестности точки $x=1.$ Мы видим, что ошибка в седьмом знаке - остаётся в седьмом же знаке после запятой. И смело машем на неё рукой: расстояние до горизонта около 5 километров, а ошибка получается в масштабе долей миллиметра!

-- 27.06.2018 19:07:36 --

$(1+\alpha)^n\approx 1+n\alpha$
$a^\alpha\approx 1+\alpha\ln a$
$\log_a(1+\alpha)\approx\tfrac{\alpha}{\ln a}$
$\sin\alpha\approx\alpha\approx\tg\alpha$
$\cos\alpha\approx 1,\quad \cos\alpha\approx 1-\tfrac{\alpha^2}{2}$

[wrest]

SNet
Как вы там? Что в итоге читаете?

[ewert]

SNet в сообщении #1322941 писал(а):

Приращение функции можно разложить в ряд, где в общем случае будут также и нелинейные члены, но всё же будет линейный член, который и называется дифференциалом функции.

Тут холивар, так что откликнусь только на это. Вас обманули. Приращения функций никакого отношения к разложениям именно в ряд не имеют. Это -- уже следующий, и уже гораздо более специализированный вопрос.

Можете вполне ориентироваться на Зельдовича (не зря же ему какую-то премию дали). Но: после того, как сориентируетесь -- будьте готовы к тому, что на Вас начнут наезжать и по формальным необходимостям. Поскольку "ежу понятно" и "а доказать смогёте?" -- суть вещи разные. И обе необходимые, только для разных ежей.

[vpb]

SNet
Если летом делать нечего, и если Зельдовича-Яглома асилили, Фихтентгольца "Курс дифференциального и интегрального исчисления", том 1, введение и главы 1,2 почитайте. В университете Вас, несомненно, будут учить по другим книгам, но Фихтенгольц им не помеха (во всяком случае главы 1,2).