Доказательство леммы

[pqrs]

Добрый вечер, уважаемые участники форума. Последние несколько дней пытаюсь разобраться в статье Мисюревича про итерации комплексной экспоненты.
https://dropmefiles.com/7aif6 (ссылка ведет на файлообменник, где находится pdf-файл со статьей)
Никак не получается понять начало доказательства леммы 4. А именно, непонятна фраза

Then, by lemma 1, $\inf_{V}|(f^{n_j})'|\geq {(\frac{1}{3}\pi)}^j$ for all $j$.

У меня получается только доказать, что $\inf_{V}|(f^{n_j})'|\geq {\frac{1}{3}\pi}$. Действительно, $\inf_{V}|(f^{n_j})'|\geq\inf_{V}|\operatorname{Im} f^{n_j}|$ по лемме 1, а $\inf_{V}|\operatorname{Im} f^{n_j}|\geq {\frac{1}{3}\pi}$ т. к. $f^{n_j}(V)$ не пересекается с $S$. Но как улучшить эту оценку до ${(\frac{1}{3}\pi)}^j$? Буду очень благодарен за любые разъяснения.

[Otta]

Рассмотрим $j=2$.
Обозначим $n_2=n_1+m$, $m>0$.
Тогда

$$|(f^{n_1+m})'(z)|=|(f^m(f^{n_1})(z))'|=|(f^m)'(f^{n_1}(z))(f^{n_1})'(z)|\ge |\operatorname{Im} f^{n_2}(z)|\cdot |\operatorname{Im} f^{n_1}(z)|$$

Общий случай аналогично.

[pqrs]

Теперь понял. Большое спасибо