Почему энергия квантовых флуктуаций струны отрицательная?

[Alex__]

Здравствуйте. Подскажите, пожалуйста. Сейчас читаю книгу Грина "Элегантная Вселенная", и там есть такой абзац: "Замечательный факт, впервые установленный в 1970-х гг., состоит в том, что квантовые осцилляции и обычные колебания струны, которые обсуждались выше и были показаны на рис. 6.2 и 6.3, с энергетической точки зрения взаимно сокращают друг друга. Действительно, согласно квантовой механике энергия квантовых флуктуаций струны является отрицательной и уменьшает общую энергию колеблющейся струны на величину, примерно равную планковской энергии". Почему энергия квантовых флуктуаций струны является отрицательной?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Физика» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: тематика.

[Gickle]

Alex__
А про какие именно струны идёт речь и точно ли этот факт подразумевается тривиальным?

[Alex__]

Gickle в сообщении #1325250 писал(а):

Alex__
А про какие именно струны идёт речь и точно ли этот факт подразумевается тривиальным?

Как я понимаю, про все. Упоминаемые в абзаце рис. 6.2 и 6.3 - вообще самые простые струны. Этот абзац - можно сказать, начало повествования о струнах

[Gickle]

Alex__
Подумал было что-то написать, но передумал. Не могли бы вы привести страницу-другую контекста? Потому что пока что я лично не до конца уверен, какое именно утверждение здесь делает Грин.

У меня есть догадка, но я не хочу лишний раз запутывать, пока не буду уверен, что я правильно понимаю автора. К тому же знания по теории струн у меня крайне поверхностные (на уровне семестрового курса), так что вероятность наврать увеличивается на порядок. :)

[Alex__]

Gickle в сообщении #1325278 писал(а):

Alex__
Подумал было что-то написать, но передумал. Не могли бы вы привести страницу-другую контекста? Потому что пока что я лично не до конца уверен, какое именно утверждение здесь делает Грин.

У меня есть догадка, но я не хочу лишний раз запутывать, пока не буду уверен, что я правильно понимаю автора. К тому же знания по теории струн у меня крайне поверхностные (на уровне семестрового курса), так что вероятность наврать увеличивается на порядок. :)

Вот тут ссылка на эту страницу книги (с рисунками): http://iknigi.net/avtor-brayan-grin/264 ... ge-12.html

Ответ снова приходит из квантовой механики. Соотношение неопределенностей гарантирует, что не существует состояния абсолютного покоя. Все объекты испытывают квантовые флуктуации, поскольку в противном случае мы могли бы, в нарушение соотношения Гейзенберга, с абсолютной точностью узнать их местоположение и скорость. Это справедливо и для петель теории струн: независимо от того, насколько спокойной выглядит струна, она всегда в той или иной мере испытывает действие квантовых осцилляции. Замечательный факт, впервые установленный в 1970-х гг., состоит в том, что квантовые осцилляции и обычные колебания струны, которые обсуждались выше и были показаны на рис. 6.2 и 6.3, с энергетической точки зрения взаимно сокращают друг друга. Действительно, согласно квантовой механике энергия квантовых флуктуации струны является отрицательной и уменьшает общую энергию колеблющейся струны на величину, примерно равную планковской энергии. Это означает, что струнные колебания с наинизшей энергией (которая, как мы наивно полагали, должна была равняться планковской энергии) в большинстве своем сокращаются, и в результате остаются колебания с относительной низкой суммарной энергией, массовый эквивалент которой близок к массам перечисленных в табл. 1.1 и 1.2 частиц вещества и частиц, переносящих взаимодействия. Следовательно, именно моды колебаний с наименьшей энергией обеспечивают контакт между теоретическим описанием струн и экспериментом в мире физики элементарных частиц. Например, Шерк и Шварц обнаружили, что мода колебаний, являющаяся кандидатом на роль гравитона, характеризуется полным сокращением энергии частицы, являющейся переносчиком гравитационного взаимодействия, приводя к нулевой массе. Это именно то, что ожидалось для гравитона: сила тяготения распространяется со скоростью света, и только частицы, не имеющие массы, могут двигаться с этой максимальной скоростью. Однако низкоэнергетические моды колебаний в гораздо большей степени являются исключением, чем правилом. Более типичное колебание фундаментальной струны соответствует частице, масса которой в миллиарды миллиардов раз превосходит массу протона.

[Munin]

Уточню, что это глава 6, а суперсимметрия в книге рассматривается позже, в главе 7.

[Gickle]

Alex__
Честно говоря, до сих пор не совсем понимаю, что имеет в виду профессор Грин, когда говорит, что "обычные колебания и квантовые осцилляции взаимно сокращают друг друга". Лично я никогда не смотрел на спектр квантовой теории струн в таком ключе. Вообще говоря, спектр мод в теории струн - результат ряда нетривиальных утверждений и вычислений, которые лично я не могу интерпретировать в приведённом выше ключе. Короче, я на этой неделе постараюсь спросить своих друзей-струнщиков, что могло иметься в виду тут. А у вас на английском странички нет, кстати? А то мои коллеги по-русски ничего не понимают, к сожалению. :)

(Как всегда посоветую книгу)

P.S. Раз уж такая пьянка. Если у вас есть за плечами знания уровня ~3 курсов физфака и присутствует желание иной раз посмотреть на теорию струн beyond научпоп (но всё ещё не полновесный курс), то рекомендую попробовать B. Zwiebach. A First Course in String Theory. Никакого знания КТП, ОТО и прочих "страшных аббревиатур" для чтения книги не подразумевается.

Munin
А у вас случаем нет догадок, что тут имеется в виду?

[Munin]

Я слышал, что в суперсимметричных теориях возникает сокращение фермионных и бозонных вкладов, в том числе в "колебаниях с наинизшей энергией". Но с текстом это сходится не вполне. Сильно не вполне.

Найти Elegant Universe по-английски возможно, но щас не займусь. Если что, это часть 3, глава 6, параграф 5. Абзац ориентировочно 6, но абзацы в переводе могут "поплыть".

-- 09.07.2018 18:13:08 --

Цитата:

The answer, once again, comes from quantum mechanics. The uncertainty principle ensures that nothing is ever perfectly at rest. All objects undergo quantum jitter, for if they didn't we would know where they were and how fast they were moving with complete precision, in violation of Heisenberg's dictum. This holds true for the loops in string theory as well; no matter how placid a string appears it will always experience some amount of quantum vibration. The remarkable thing, as originally worked out in the 1970s, is that there can be energy cancellations between these quantum jitters and the more intuitive kind of string vibrations discussed above and illustrated in Figures 6.2 and 6.3. In effect, through the weirdness of quantum mechanics, the energy associated with the quantum jitters of a string is negative, and this reduces the overall energy content of a vibrating string by an amount that is roughly equal to Planck energy. This means that the lowest-energy vibrational string patterns, whose energies we would naively expect to be about equal to the Planck energy (i.e., 1 times the Planck energy), are largely canceled, thereby yielding relatively low net-energy vibrations—energies whose corresponding mass-equivalents are in the neighborhood of the matter and force particle masses shown in Tables 1.1 and 1.2. It is these lowest energy vibrational patterns, therefore, that should provide contact between the theoretical description of strings and the experimentally accessible world of particle physics. As an important example, Scherk and Schwarz found that for the vibrational pattern whose properties make it a candidate for the graviton messenger particle, the energy cancellations are perfect, resulting in a zero-mass gravitational-force particle. This is precisely what is expected for the graviton; the gravitational force is transmitted at light speed and only massless particles travel at this maximal velocity. But low-energy vibrational combinations are very much the exception rather than the rule. The more typical vibrating fundamental string corresponds to a particle whose mass is billions upon billions times greater than that of the proton.

[Gickle]

Munin
Спасибо за текст!

Munin в сообщении #1325497 писал(а):

Я слышал, что в суперсимметричных теориях возникает сокращение фермионных и бозонных вкладов, в том числе в "колебаниях с наинизшей энергией".

Это действительно так, хотя тут стоит быть аккуратным, к слову. Одна из проблем бозонной теории струн - вакуум с отрицательной массой. В наивной теории суперструн тахионное основное состояние тоже присутствует. От него (и от ряда других проблем) избавляются с помощью так называемой GSO projection процедуры (Gliozzi, Scherk, Olive). Получается, как вы и сказали, что бозонный и фермионный вклады сокращают друг друга. В результате из $2^{10}$ вариантов остаётся ограниченный круг "хороших" теорий суперструн: типа IIA и типа IIB (есть ещё типы I и 0A, 0B, но я про них совсем ничего не знаю).

[physicsworks]

Скорее всего имеется ввиду то, что при вычислении спектра бозонной теории возникает член пропорциональный $\displaystyle \sum_{n>0} n$, бесконечная сумма в котором есть вклады нулевой энергии бесконечного числа гармонических осцилляторов. После регуляризации (например экспоненциально затухающим регулятором $e^{-\epsilon n}$ [физический результат не зависит от выбора регулятора]), эта сумма превращается в
$\displaystyle \sum_{n>0} n = \frac{1}{\epsilon^2}-\frac{1}{12} + \frac{\epsilon^2}{240} + \mathcal{O}(\epsilon^4)$
в которой расходящийся первый член при $\epsilon \to 0$ исчезает после введения контрчлена, соответсвующего ваккумной энергии. Точно такая же сумма возникает при вычислении эффекта Казимира.

[Alex__]

Munin в сообщении #1325497 писал(а):

Я слышал, что в суперсимметричных теориях возникает сокращение фермионных и бозонных вкладов, в том числе в "колебаниях с наинизшей энергией". Но с текстом это сходится не вполне. Сильно не вполне.

Найти Elegant Universe по-английски возможно, но щас не займусь. Если что, это часть 3, глава 6, параграф 5. Абзац ориентировочно 6, но абзацы в переводе могут "поплыть".

-- 09.07.2018 18:13:08 --

Цитата:

The answer, once again, comes from quantum mechanics. The uncertainty principle ensures that nothing is ever perfectly at rest. All objects undergo quantum jitter, for if they didn't we would know where they were and how fast they were moving with complete precision, in violation of Heisenberg's dictum. This holds true for the loops in string theory as well; no matter how placid a string appears it will always experience some amount of quantum vibration. The remarkable thing, as originally worked out in the 1970s, is that there can be energy cancellations between these quantum jitters and the more intuitive kind of string vibrations discussed above and illustrated in Figures 6.2 and 6.3. In effect, through the weirdness of quantum mechanics, the energy associated with the quantum jitters of a string is negative, and this reduces the overall energy content of a vibrating string by an amount that is roughly equal to Planck energy. This means that the lowest-energy vibrational string patterns, whose energies we would naively expect to be about equal to the Planck energy (i.e., 1 times the Planck energy), are largely canceled, thereby yielding relatively low net-energy vibrations—energies whose corresponding mass-equivalents are in the neighborhood of the matter and force particle masses shown in Tables 1.1 and 1.2. It is these lowest energy vibrational patterns, therefore, that should provide contact between the theoretical description of strings and the experimentally accessible world of particle physics. As an important example, Scherk and Schwarz found that for the vibrational pattern whose properties make it a candidate for the graviton messenger particle, the energy cancellations are perfect, resulting in a zero-mass gravitational-force particle. This is precisely what is expected for the graviton; the gravitational force is transmitted at light speed and only massless particles travel at this maximal velocity. But low-energy vibrational combinations are very much the exception rather than the rule. The more typical vibrating fundamental string corresponds to a particle whose mass is billions upon billions times greater than that of the proton.

Да, я первым делом посмотрел сей текст на английском.

"In effect, through the weirdness of quantum mechanics, the energy
associated with the quantum jitters of a string is negative, and this reduces the overall energy content of a vibrating string by an
amount that is roughly equal to Planck energy. "

И хочется понять написанное на интуитивном уровне. Т.е. я сам учился на прикладной математике, но за более чем десять лет многое уже позабылось, и т.к. книга читается по пути на работу/с работы, хочется более-менее просто улавливать смысл без формул - на что книга и рассчитана. Но именно описанная мысль о том, что энергия квантовых флуктуация отрицательна, преподнесена, получается, как само собой разумеющееся, до слов о суперсимметрии. Как будто что-то пропустил, недопонял, или это что-то совсем уж очевидное имеется в виду. Во всех случаях мысль остаётся непонятной, и из-за этого дальше не читается. Поэтому и решил найти форум по физике, и спросить.

Посмотрел, к слову, и несколько фильмов с передачами - там тоже ответа не нашёл. Только в программе "Научный тык" про теорию струн физик Семихатов сделал прям-таки нужное вступление к рассказу, как его в очередной раз перебили нервно и глупо смеющиеся ведущие, после чего тема была замята.

[Gickle]

Alex__
Выше physicsworks дал правильный ответ, на мой взгляд. Постараюсь на днях написать расписать более подробно, как это связано с исходным вопросом, но можете и сами погуглить, что такое normal ordering ambiguity и Casimir vacuum energy, а также посмотреть, как выглядят коммутационные соотношения для "операторов рождения/уничтожения" у бозонных струн.

[Walker_XXI]

Gickle в сообщении #1325250 писал(а):

А про какие именно струны идёт речь и точно ли этот факт подразумевается тривиальным?

Как выше отметил Munin, данный фрагмент в самом начале повествования о струнах и речь идёт о начале 70-х. Имеется ввиду бозонная струна. Факт для уровня книги "Элегантная вселенная" отнюдь не тривиален, однако ничего большего, кроме как сослаться на квантовую механику автор тут не может. В результате перевода смысл фрагмента несколько исказился - оригинал обладает чуть более глубоким смыслом. "Квантовые осцилляции" - это энергия нулевого уровня возбуждения, которая в квантовом случае не 0 и входит в выражение для энергии всех более высоких уровней.

Почему энергия квантовых флуктуаций (т.е. нулевого уровня) струны является отрицательной? Если кратко, но чуть длиннее, чем у Б. Грина, то...

При стандартном рассмотрении динамики открытой релятивистской бозонной струны в $D$-мерном пространстве-времени получим, что выражение для массы струны через моды её внутренних колебаний (условие массовой поверхности) задаётся нулевой фурье-компонентой связи. (Связь - равенство нулю компонент двумерного тензора энергии-импульса - вытекает из репараметризационной инвариантности действия, а $L_0$ попутно является гамильтонианом двумерной теории). Фурье-компоненты связи $L_m$ выражаются через координаты осциллятора

$$L_m=\frac{1}{2}\sum\limits_{-\infty}^{\infty}\alpha_{m-n}\cdot\alpha_n$$

и образуют так называемую алгебру Вирасоро (в классике задаётся скобками Пуассона, которые при стандартном квантовании в системе единиц $\hbar=c=1$ заменяются на $-i[,]$). В квантовом случае из-за некоммутативности координат осциллятора $\alpha_{-n}$ и $\alpha_{n}$ (которые превращаются в операторы рождения/уничтожения в пространстве Фока) в выражении для $L_0$ при нормальном упорядочении (переходе к сумме с нижним пределом $n=1$ вместо $-\infty$) возникает неоднозначность в виде числовой константы. В результате условие связи (которое в квантовом случае записывается в слабом операторном равенстве, т.е. в применении к вектору состояния) приобретает вид

$$(L_0-a)\left\lvert\varphi\right\rangle=0.$$

Отсюда вытекает условие массовой поверхности (нулевая компонента осциллятора соответствует полному импульсу струны)

$$M^2=-2a+2\sum\limits_{n=1}^{\infty}\alpha_{-n}\cdot\alpha_n.$$

Вот про первое отрицательное слагаемое, дающее квадрат массы основного состояния (и которого нет в классике), и говорит Грин. Да, основное состояние тахионное, зато массы возбуждённых состояний приобретают приемлемый масштаб.

[Gickle]

Walker_XXI
Только подумал сесть и написать, а вы уже всё сделали, оказывается. :) Добавлю для ТС несколько технических деталей ради полноты картины, которые вы решили опустить (надеюсь, этим не запутаю ТС больше):

Walker_XXI в сообщении #1325641 писал(а):

В результате условие связи (которое в квантовом случае записывается в слабом операторном равенстве, т.е. в применении к вектору состояния) приобретает вид

$$(L_0-a)\left\lvert\varphi\right\rangle=0.$$

Вообще говоря, этих условий бесконечно много: $L_m = 0 \,\, \forall m$ в классике, а в квантовом случае $\langle \text{phys}'| L_m | \text{phys} \rangle = 0$ для всех физических состояний. Однако неопределённость возникает только с $L_0$, так что, используя эрмитовость, получаем такую серию ограничений: $(L_m - \delta_{0,m} \cdot a) |\text{phys} \rangle = 0$. Эти условия играют важную роль при построении спектра. Наконец, замечу, что такое ограничение на физические состояния (то есть из всего гильбертова пространства мы выбираем лишь ту часть, которая имеет физический смысл) не является какой-то диковинкой теории струн, а стандартно для любых калибровочных теорий. Описанный выше формализм во многом аналогичен так называемому Gupta-Bleuler квантованию в КЭД.

Gickle в сообщении #1325651 писал(а):

Как выше отметил Munin, данный фрагмент в самом начале повествования о струнах и речь идёт о начале 70-х. Имеется ввиду бозонная струна.

Да, я уже потом перечитал и, увидев дату, понял, что вряд ли речь идёт о суперструнах.