Выложить плоскость правильными многоугольниками

[Побережный Александр]

Плато́ново тело — это выпуклый многогранник, состоящий из одинаковых правильных многоугольников и обладающий пространственной симметрией.
Всего существует пять платоновых тел: тетраэдр, октаэдр, гексаэдр(куб), икосаэдр, додекаэдр.
Все эти фигуры ограниченные, другими словами их можно всегда поместить в какую-нибудь сферу.

А можно ли одинаковыми правильными многоугольниками выложить плоскость (неограниченную фигуру) так, чтобы ни один многоугольник не принадлежал этой плоскости?

Я пока нашел один вариант, состоящий из квадратов.
Представьте шахматную доску, расширенную на всю плоскость. Теперь черные квадратики опускаем вниз на половину длины стороны, а белые поднимаем вверх на половину длины стороны квадратика. Получившаяся поверхность будет состоять только из квадратов.

С равносторонними треугольниками не получается. С фигурой, состоящей из двух равносторонних треугольников (ромбом) плоскость можно выложить. Но ромб не является правильным многоугольником.

[Pphantom]

Кхм... или я что-то не улавливаю, или мне непонятно, как каждый из абзацев предыдущего сообщения согласуется со всеми остальными.

[Побережный Александр]

Уважаемый Pphantom!
Это все исключительно для наглядности. Возможно я и переборщил с этим делом.

[Otta]

Задачу поставьте, пожалуйста, так, чтобы Вас мог хоть кто-то понять.

[Побережный Александр]

Постановка задачи.
Замостить поверхность, гомеоморфную плоскости, правильными многоугольниками конкретного вида (равносторонними треугольниками, квадратами, семиугольниками и пр.) при выполнении следующих условий:
- два правильных многоугольника, имеющих общее ребро, не лежат в одной плоскости,
- каждое ребро любого многоугольника является общим только для двух правильных многоугольников и только для двух.

Для сравнения, платоновы тела гомеоморфны сфере.

[Dmitriy40]

И поясните почему Вы отвергли плоскую ферму из тетраэдров, ведь она бесконечная и из одинаковых треугольников - ровно как и ваша "доска".

[Побережный Александр]

Dmitriy40 в сообщении #1325013 писал(а):

И поясните почему Вы отвергли плоскую ферму из тетраэдров, ведь она бесконечная и из одинаковых треугольников - ровно как и ваша "доска".

Ой! Точно! Я этот вариант упустил. Это когда основания тетраэдров образуют плоскость.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Стало быть, не только я не понял, что имеется в виду. Поэтому, пожалуйста, напишите внятную постановку задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[mihaild]

Больше чем $5$ углов быть не может (шестиугольники влезут только в плоскость, семиугольники уже не влезут никуда). Меньше чем $3$ тоже. Примеры с $3$ и $4$ углами уже есть.
Для пятиугольников можно сложить додекаэдры бесконечной башней друг на друга и убрать грани, которыми прикладывали. Аналогичная конструкция возможна со всеми платоновыми телами, кроме куба.

[Побережный Александр]

Общую вершину могут иметь много правильных многоугольников. Так общую вершину могут иметь шесть квадратов.

[Neoguri]

mihaild в сообщении #1327668 писал(а):

Для пятиугольников можно сложить додекаэдры бесконечной башней друг на друга и убрать грани, которыми прикладывали.

Так это у вас "цилиндр" получится, а не "плоскость".

[mihaild]

Neoguri в сообщении #1327744 писал(а):

Так это у вас "цилиндр" получится, а не "плоскость".

Односторонне-бесконечный цилиндр гомеоморфен плоскости.

[Peace]

Побережный Александр в сообщении #1327671 писал(а):

Общую вершину могут иметь много правильных многоугольников. Так общую вершину могут иметь шесть квадратов.

А почему именно 6? Или почему квадратов?

[Neoguri]

mihaild в сообщении #1327746 писал(а):

Односторонне-бесконечный цилиндр гомеоморфен плоскости.

А, точно. Хитро.