Задача с комплексными числами

[Tiberium]

Из всех комплексных чисел, удовлетворяющих условию $z\cdot\bar{z}=41$, найдите такие, для которых сумма $ |z-9|+|z-9i|$ принимает наименьшее значение.

Пусть $ z = x+iy$, тогда $ x^2+y^2=41$ и можно все свести к поиску минимума выражения:

$ \sqrt{(x-9)^2+y^2}+\sqrt{(x^2+(y-9)^2}$, где $ y = \sqrt{41-x^2}$

Обычно такой тарзаноподобный метод приводил к успеху, но тут совсем неприятные выражения получаются для дифференцирования.

Я, конечно, заметил, что геометрически искомая сумма есть уравнение эллипса с фокусами в точках $ (9,0) $ и $ (0,9)$, но не понимаю, что геометрическая интерпретация дает.

Натолкните на мысль, пожалуйста :)

[thething]

А вы не выражайте игрек, а попробуйте методом множителей Лагранжа. Вроде красиво выходит.

[Someone]

Tiberium в сообщении #1324529 писал(а):

$z\cdot\ddot{z}=41$

Что такое $\ddot z$? Обычно так обозначают вторую производную по временно́й переменной. Если Вы имели в виду комплексное сопряжение, то его обычно обозначают чертой сверху: $\bar z$.

[Tiberium]

Someone в сообщении #1324544 писал(а):

Tiberium в сообщении #1324529 писал(а):

$z\cdot\ddot{z}=41$

Что такое $\ddot z$? Обычно так обозначают вторую производную по временно́й переменной. Если Вы имели в виду комплексное сопряжение, то его обычно обозначают чертой сверху: $\bar z$.

Поправил. Имелось в виду именно комплексное сопряжение.

[nya]

Tiberium в сообщении #1324529 писал(а):

но не понимаю, что геометрическая интерпретация дает.

Осталось ещё геометрическую интерпретацию метода лагранжа вспомнить. У вас очень симметричная картинка. Раздувается эллипс с плюсами в данных точках и какая-то окружность по центру стоит. Первый момент, когда раздувающийся эллипс коснется окружности и будет ответом. В силу симметрии понятно что это за точка будет даже в голове, без вычислений.

[Munin]

Tiberium в сообщении #1324529 писал(а):

Я, конечно, заметил, что геометрически искомая сумма есть уравнение эллипса с фокусами в точках $ (9,0) $ и $ (0,9)$, но не понимаю, что геометрическая интерпретация дает.

А условие $z\cdot\bar{z}=41$ даёт окружность. То есть вам надо искать точки пересечения окружности и эллипса. Как взаимно расположены эта окружность и фокусы эллипса? Окружность и центр эллипса?

Теперь посмотрим на $|z-9|+|z-9i|=S.$ Это не один эллипс, а семейство вложенных эллипсов, параметризованных суммой $S.$ Вам в этом семействе надо выбрать наименьший эллипс, ещё имеющий общие точки с окружностью.

[Tiberium]

Munin в сообщении #1324561 писал(а):

Tiberium в сообщении #1324529 писал(а):

Я, конечно, заметил, что геометрически искомая сумма есть уравнение эллипса с фокусами в точках $ (9,0) $ и $ (0,9)$, но не понимаю, что геометрическая интерпретация дает.

А условие $z\cdot\bar{z}=41$ даёт окружность. То есть вам надо искать точки пересечения окружности и эллипса. Как взаимно расположены эта окружность и фокусы эллипса? Окружность и центр эллипса?

Теперь посмотрим на $|z-9|+|z-9i|=S.$ Это не один эллипс, а семейство вложенных эллипсов, параметризованных суммой $S.$ Вам в этом семействе надо выбрать наименьший эллипс, ещё имеющий общие точки с окружностью.

Это мне понятно. Но (тут я начинаю тупить) алгебраически все равно ведь сводится к минимизации суммы расстояний от некоторой точки (точек) на окружности до фокусов эллипса. И там получается кошмар.

[Otta]

Нет. Фокусы тут ни при чем. Вы минимизируете, в нотации Munin, число $S$. Прикиньте себе картинку. То есть $S$ меняются, на разных эллипсах они разные, надо рисовать линии уровня и соображать, где $S$ минимально. Остановитесь и подумайте, на самом деле.

[TOTAL]

Tiberium в сообщении #1324567 писал(а):

И там получается кошмар.

Нарисуйте окружность $z\cdot\bar{z}=41$ и прямую, проходящую через $z=9$ и $z=9i$. Кошмар рассеется.