Нарезка сыра

[ИСН]

В бар (двумерный, чтобы не было лишних вопросов) заходит бесконечно много мышей. Первая говорит:
- Мне $1\over2$ кусочка сыра.
Вторая:
- Мне $1\over6$ кусочка сыра.
Третья:
- Мне $1\over12$...
Бармен, не будь дурак, опознаёт нехитрый сходящийся ряд $\sum{1\over n(n+1)}$, достаёт кусочек сыра в форме единичного квадрата и начинает его нарезать. Он отхватывает прямоугольные куски требуемой площади вдоль стороны, так что остающийся кусок тоже продолжает быть прямоугольным. При этом он отрезает не от одной и той же стороны, а каждый раз поворачивает кусок на $90^\circ$, так что нарезка идёт по этакой ступенчатой спирали.
Так вот, вопрос: какова в пределе форма оставшегося куска?

[gris]

Для понимания нарисовал картинку.

Если правильно понял, то в процессе всё время остаётся прямоугольник, а его площадь стремится к нулю. Под формой надо понимать предел соотношения сторон? В общем-то, понятно, как это можно делать, но вдруг там сложности
Я бы даже для удобства изменил тактику бармена: поворачивал бы попеременно по и против часовой стрелк<е/и>.

[ИСН]

Да, всё так. Ну-с...?

[gris]

Я подумал, что это может быть отрезок
Ну щас я. Ни ручки, ни карандаша. Ничего, если я в Эксельке чисто демонстрационно?

[Dendr]

Одна сторона будет длиной $\frac{1}{2}\frac{3}{4}...\frac{2n-1}{2n}$,
другая - $1\frac{2}{3}\frac{4}{5}...\frac{2m}{2m+1}$,
где либо $m=n$, либо $2m+1=2n-1$.

Тут легко подсчитать, даже подробные выкладки не имеет смысла приводить. Получаются двойные факториалы, выражая которые через обычные и используя формулу Стирлинга и второй замечательный предел, получим соотношение сторон прямоугольника (в пределе) $\pi/2$.

Есть чувство, что это можно показать и "на пальцах". Явно надо рыться в отношении длины полуокружности к ее диаметру, но уловить пока не получается.

[wrest]

Прямоугольник с соотношением сторон $\dfrac{a}{b}=\dfrac{2-2\ln(2)}{\ln(4)}=\dfrac{1-\ln(2)}{\ln(2)}\approx 0,442695041$

[ИСН]

Dendr

Ну да, как только посчитаешь первые несколько сторон, то бесконечное произведение Валлиса бросается в глаза.
У меня нет чувства, что можно на пальцах. Никакой встроенной симметрии за этим не стоит. Форма сходится для довольно широкого класса сходящихся рядов (какого, кстати?), и там могло получиться что угодно.
Но получилось вот так.

wrest
Нет.

[gris]

Ну вот, пока съездил за помидорами, весь сыр съели. Но в Эксельке всё же посмотрел. Вот насчёт рядов. Естественно брать положительные, сходящиеся к единичке. Сразу видно ряд, который форму не держит. Это нормализованная геометрическая прогрессия. И ещё: Первоначальный ряд, разбавленный нулями, приводит остаток сыра к отрезку, чего я опасался. Ряд из обратных квадратов форму держит. Причём она зависит от перестановки членов ряда. Все просмотренные мной примеры последовательностей отношений состоят из двух чередующихся подпоследовательностей, которые либо постоянны, либо с разной монотонностью сходятся к одному пределу.
Вот бы теорию увидеть.

[Dan B-Yallay]

А если бы изначально сыр был не в форме единичного квадрата, а скажем 2 х 0.5 ?

Или более общо: $x \times \frac 1 x$

[gris]

А это не влияет на одержание формы. Разрыхление происходит, но форма в конце концов одерживается в другом значении.

[Dan B-Yallay]

gris в сообщении #1324695 писал(а):

А это не влияет на yдержание формы.

Я тоже так подумал, но доказать, что $\pi / 2$ пока не могу.

-- Чт июл 05, 2018 09:34:49 --

gris в сообщении #1324695 писал(а):

Разрыхление происходит, но форма в конце концов удерживается в другом значении.

То есть значение всё-таки другое? Мой вопрос был о значении, если предельная форма есть.
Интересна зависимость предельного соотношения сторон от изначального соотношения.

-- Чт июл 05, 2018 10:01:38 --

Хм, туплю что ли. Должно быть либо $ \frac {x^2\pi}{2}$ либо $ \frac {\pi}{2x^2}$

[gris]

Если взять первоначальный алгоритм нарезки, то приблизительно из куска $\dfrac 54\times \dfrac45$ будут постепенно получаться квадратики. Но это так, чисто из опыта.

[Dan B-Yallay]

$x = 4/5$

$$\frac {4^2}{5^2}\cdot \frac {3.141593}{2} = 1.00530944$$

Похоже на то.

[ИСН]

По-моему, форма сходится для любого ряда, члены которого монотонно спадают медленнее любой экспоненты. С экспонентой форма прыгает; можно подобрать, чтобы прыгала на одном месте, но это читерство.