Поведение производных не аналитической функции

[deep blue]

Пусть $f(x)\in C^{\infty}(R)$, $f(x)=0$,$f^{(r)}(0)=0$, $f^{(r)}(x)\ge0$ для всех $r\in\mathBB{N}$ и $x\ge0$. Доказать, что $f(x)\equiv0$ при $x\ge0$

[eugensk]

Неверно, см. пример https://en.wikipedia.org/wiki/Flat_function

[deep blue]

Этот известный пример не является контрпримером к утверждению задачи. Потому что у $e^{-\frac{1}{x}}$ вторая производная отрицательна при $x>\frac{1}{2}$

[eugensk]

Точно, поспешил.

[deep blue]

Я тоже сначала так думал. В общем ваше сообщение пришлось в тему.

[eugensk]

Должно быть что-то вроде $(\forall n\text{ }\exists\theta_n\text{ , }0<\theta_n<x \text{ , } f(x) = f^{(n)}(\theta_n)\cdot x^n/n!) \Rightarrow f(x) = 0$, но я не понимаю как ограничить $f^{(n)}(\theta_n)$

[novichok2018]

Мне кажется, что есть такая не очень известная теорема, доказанная кажется С.Бернштейном: если все производные неотрицательны, то функция аналитическая. Проверьте.

[deep blue]

novichok2018 Спасибо, нашлась теорема

Интересно как это предполагалась доказывать первокурсникам на олимпиаде

[novichok2018]

deep blue - это откуда страничка?
Нам давали эту задачу на спецкурсе. У неё есть совсем простое доказательство, использующее только интегральную форму остатка в ф. Тэйлора.
Интересно, что в приведённой книге написано про абс. непр. ф. Обычно дают определение как приведено через положительность производных, затем приводят ссылку, что из него как бы следует интегральное представление, что-то вроде теоремы Бохнера-Хинчина. Но это неверно.

[deep blue]

Все оказалось очень просто.
1. Все производные монотонно возрастающие функции.
2. Для любой функции имеющей нулевые производные в нуле выполняется $\int\limits_{0}^{x}\frac{f^{(n+1)}(s)(s-x)^n}{n!} ds=f(x) \forall x>0,n \in N$
3. Для любой не аналитической функции имеющей нулевые производные в нуле и неубывающие на $[0,1]$ выполняется $\frac{f^{(n)}(\frac{1}{3})}{n!}\frac{1}{3^n}\ge f(\frac{1}{3}) \forall n>N$

Теперь используя 3 легко показать что интеграл из 2 в точке x=0.5 стремится к бесконечности с ростом n что вступает в противоречие с утверждением 2.

novichok2018 я тоже понял что остаток в интегральной форме ведет к равенству 2 которое отсекает произвол в поведении производных.
Это страничка из книги

Введение в теорию вероятностей и ее приложения, Том 2. Феллер писал(а):

Многие теоремы матанализа удивительно легко получаются с помощью вероятностных рассуждений

Вот и эту теорему они разобрали по вероятностям