Колесо у столба

[pogulyat_vyshel]

К вертикальному цилиндрическому столбу радиуса $R$ прислонено велосипедное колесо, которое будем считать тонким однородным диском массы $m$ радиуса $r$. Другой своей точкой колесо стоит на полу. И пол и столб являются совершенно шероховатыми.
Найти частоту малых колебаний колеса, если в положении равновесия угол между плоскостью колеса и полом равен $\alpha$.

[pogulyat_vyshel]

Можно решать задачу и в упрощенной постановке: пусть вместо столба колесо опирается на вертикальную совершенно шероховатую стену

[ESN]

У меня получилось, что при $R=0$ (т.е. колесо опирается не на столб, а на тонкий шест и есть одна неподвижная точка)
$\omega=2\sqrt{2g\sin\alpha /r}$. Так ли?

[pogulyat_vyshel]

Громоздкие вычисления даже в вашей версии.

Введем декартову систему координат $Oxyz$, ось $Oz$ направлена вверх и содержит шест. Через $\varphi$ обозначим угол между осью $y$ и прямой пересечения плоскости $xy$ с плоскостью колеса, таким образом, что вектор нормали этой прямой пишется так $\boldsymbol \nu=\cos\varphi\boldsymbol e_x+\sin\varphi\boldsymbol e_y$.

Через $\theta$ обозначим угол между горизонтальной плоскостью и плоскостью колеса. Тогда вектор нормали к колесу пишется так
$\boldsymbol n=\cos\theta \boldsymbol e_z+\sin\theta\boldsymbol\nu.$

В плоскости колеса введем векторы $\boldsymbol e_1=[\boldsymbol e_z,\boldsymbol n],\quad \boldsymbol e_2=[\boldsymbol n,\boldsymbol e_1]$
Через $A$ обозначим вершину шеста, через $B$ точку контакта колеса и горизонтальной плоскости, через $S$ -- центр колеса:

$$\boldsymbol{SA}=r\cos\psi\boldsymbol e_2+r\sin\psi\boldsymbol e_1,\quad \boldsymbol{SB}=-r\boldsymbol e_2,$$

где $\psi$ -- угол между прямой ската плоскости колеса и прямой $SA$.

Угловая скорость колеса имеет вид $\boldsymbol\omega=-\dot\psi\boldsymbol n+\dot\varphi \boldsymbol e_z+\dot\theta \boldsymbol e_1.$
условие непроскальзывания: $[\boldsymbol\omega,\boldsymbol{BA}]=0.$

В устойчивом положении равновесия имеем $\varphi=\psi=0,\quad \theta=\alpha.$ В линейном приближении условия непроскальзывания приобретают вид $\theta=\alpha,\quad \varphi\cos\alpha-\psi=0$.
$\boldsymbol v_S=[\boldsymbol\omega,\boldsymbol{BS}]$. Дальше пишется лагранжиан в котором оставляются лишь квадратичные члены, но на это меня не хватило.

[fred1996]

Инетерсно, а как учесть например случай отсутствия трения о вертикальный столб? Будут ли там колебания, или колесо в результате соскользнет?

[pogulyat_vyshel]

В отсутствие тре5ия о столб Там две степени свободы будет, скорее всего неголономных
Трудно чтото так сразу сказать про динамику

[fred1996]

Хех. Так вторая степень - это скорее всего просто качение с постоянной скоростью.

[pogulyat_vyshel]

ESN в сообщении #1323993 писал(а):

У меня получилось, что при $R=0$ (т.е. колесо опирается не на столб, а на тонкий шест и есть одна неподвижная точка)
$\omega=2\sqrt{2g\sin\alpha /r}$. Так ли?

У меня получилось так

$$\omega=\cos\alpha\sqrt{\frac{2g}{r\sin\alpha}}$$

-- 04.07.2018, 15:17 --
Точные (без линеризации) формулы
Уравнения связей:

$$-\dot\psi+\dot\varphi\cos\theta=0,\quad -\dot\theta(1+\cos\psi)+\dot\varphi\sin\theta \sin\psi=0$$

Кинетическая энергия

$$T=\frac{3mr^2}{4}(-\dot\psi+\dot\varphi\cos\theta)^2+\frac{5mr^2}{8}\dot\theta^2+\frac{mr^2\sin^2\theta}{8}\dot\varphi^2$$

потенциальная энергия
$V=mgr\sin\theta$

[pogulyat_vyshel]

В связи с синусом в знаменателе полезно вспомнить еще такой сюжет https://www.youtube.com/watch?v=55gJgCoDld4