Про расстояние

[Charlz_Klug]

Задача:
Пусть $(\xi_1, \xi_2, \xi_3), (\eta_1, \eta_2, \eta_3)$ — координаты точек $x$, $y \in \mathbb{R}^3$. Покажите, что функция $\rho(x, y) = \max\limits_{1 \leqslant i \leqslant3} |\xi_i - \eta_i|$ удовлетворяет свойству $\rho(x,y) \leqslant \rho(x,z) + \rho(z,y)$.
В чём проблема:
Не могу показать это неравенство. Пробовал ввести какую-либо точку $z$ с координатами $(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$, но ничего путного не вижу. Прошу подсказки.

[thething]

Модуль суммы не превосходит сумму модулей. Максимум суммы не превосходит сумму максимумов.

[Charlz_Klug]

Похоже понял.
$\rho(x, y) = \max\limits_{1 \leqslant i \leqslant3} |\xi_i - \eta_i|$.
В то же время $\xi_i - \eta_i$ можно записать так: $\xi_i - \eta_i = \xi_i - \alpha_i + \alpha_i - \eta_i$.
Тогда из $|\xi_i - \eta_i|$ следует $|\xi_i - \eta_i| = |\xi_i - \alpha_i + \alpha_i - \eta_i|$.
Выражение $|\xi_i - \alpha_i + \alpha_i - \eta_i| \leq |\xi_i - \alpha_i| + |\alpha_i - \eta_i|$.
Отсюда $\max\limits_{1 \leqslant i \leqslant3} |\xi_i - \alpha_i + \alpha_i - \eta_i| \leq \max\limits_{1 \leqslant i \leqslant3} (|\xi_i - \alpha_i| + |\alpha_i - \eta_i|)$.
Но $\max\limits_{1 \leqslant i \leqslant3} (|\xi_i - \alpha_i| + |\alpha_i - \eta_i|) \leq \max\limits_{1 \leqslant i \leqslant3} |\xi_i - \alpha_i| + \max\limits_{1 \leqslant i \leqslant3} |\alpha_i - \eta_i|$.
И $\max\limits_{1 \leqslant i \leqslant3} |\xi_i - \alpha_i| = \rho(x,z)$, а $\max\limits_{1 \leqslant i \leqslant3} |\alpha_i - \eta_i| = \rho(z,y)$.
А значит $\rho(x, y) \leq \rho(x,z) + \rho(z,y)$.
thething, спасибо за подсказку!