Вот, а это как раз то, что страшно (и постоянно) нужно физикам, и о чём мало говорят математики (да ещё и на таком языке, что поди расшифруй :-)
Смотрите.
![$\sqrt{2hR+h^2}=\sqrt{h(2R+h)}.$ $\sqrt{2hR+h^2}=\sqrt{h(2R+h)}.$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/d/acdad8234d9298c2e899cde82d7be4ed82.png)
А каково отношение
![$h$ $h$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/a/d/2ad9d098b937e46f9f58968551adac5782.png)
к
![$2R$ $2R$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/a/d/aadb079978519a78a2e0a1254286d2e782.png)
? По порядку величины - 1 к десяти миллионам. (Коэффициенты типа "полтора" в таких рассуждениях не учитываются.) Значит, если мы уберём слагаемое
![${}+h$ ${}+h$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/d/4/bd431d6ae1aca33294e25a35a695ab6c82.png)
из множителя
![$(R+h),$ $(R+h),$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/d/7/ed7f1d7d97140bf2d4b03451cc581bcc82.png)
то ошибёмся только в седьмом знаке после запятой. Заметьте, ведь мы и
![$R$ $R$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/e/4/1e438235ef9ec72fc51ac5025516017c82.png)
знаем намного грубее, так что реально мы даже и учесть это слагаемое не можем!
Теперь следующий шаг. А насколько у нас испортится результат расчёта по формуле? Представим её в виде
![$\sqrt{2Rh(1+\tfrac{h}{2R})}$ $\sqrt{2Rh(1+\tfrac{h}{2R})}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/d/0/0d09819a6e283d10d7142d3f18d81e1082.png)
- а заменяем мы её на, соответственно,
![$\sqrt{2Rh}.$ $\sqrt{2Rh}.$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/9/b/49bde9307c6ca8230d009a55f2c7806a82.png)
Значит, нам надо оценить, насколько
![$\sqrt{1+\tfrac{h}{2R}}$ $\sqrt{1+\tfrac{h}{2R}}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/c/d/4cd1587cb04dfa93b6e6c864fc3f30d982.png)
отличается от единицы, когда слагаемое
![$\tfrac{h}{2R}$ $\tfrac{h}{2R}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/8/a/78ad401210296f0108870ab51d48a18b82.png)
мало́. Это вполне математический вопрос, ответ на который
может быть найден через производную от
![$\sqrt{x}$ $\sqrt{x}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/d/1/dd14e4011870d961fb4f5097866d900982.png)
в окрестности точки
![$x=1.$ $x=1.$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/0/b/60be76b4f2bb7cab54ec12f16bd1ae1982.png)
Мы видим, что ошибка в седьмом знаке - остаётся в седьмом же знаке после запятой. И смело машем на неё рукой: расстояние до горизонта около 5 километров, а ошибка получается в масштабе долей миллиметра!
-- 27.06.2018 19:07:36 --![$(1+\alpha)^n\approx 1+n\alpha$ $(1+\alpha)^n\approx 1+n\alpha$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/2/9/a29844e63f1bdbf045f43be601a4a06f82.png)
![$a^\alpha\approx 1+\alpha\ln a$ $a^\alpha\approx 1+\alpha\ln a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/e/4fe98aa57403ade2a19275aa120a671d82.png)
![$\log_a(1+\alpha)\approx\tfrac{\alpha}{\ln a}$ $\log_a(1+\alpha)\approx\tfrac{\alpha}{\ln a}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/3/7/937222d77ede32c082f939229fba89a082.png)
![$\sin\alpha\approx\alpha\approx\tg\alpha$ $\sin\alpha\approx\alpha\approx\tg\alpha$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/a/a/baa50ec0e2247cdb0781a70bd0fe74bb82.png)
![$\cos\alpha\approx 1,\quad \cos\alpha\approx 1-\tfrac{\alpha^2}{2}$ $\cos\alpha\approx 1,\quad \cos\alpha\approx 1-\tfrac{\alpha^2}{2}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/4/8/948595dea1157ee46c281150f595fc8882.png)