Подготовка к матанализу

[SNet]

Здравствуйте, закончилась школа и началось поступление в ВУЗ. Избрав для себя физическое направление, столкнулся с тем, что хотелось бы заранее подготовиться к дисциплинам первого курса (в основном, конечно, из интереса). Поэтому относительно матанализа возникает несколько вопросов.

1) Существуют ли книги, которые представляют собой некую пропедевтику к матанализу? Сразу скажу, что уровни учебников Пискунова и Зельдовича-Яглома меня не устраивают (хочу строже и основательней). Может, это какие-то иностранные учебники (но обязательно в переводе)?
2) Говорят, что топология связана с основаниями матанализа и также рекомендуют книгу «Элементарная топология" Виро и других. Есть ли смысл за неё браться, если уровень достаточно шаткий: какие-то основы линейной алгебры (но продолжаю изучать по учебнику Воеводина), общей алгебры, чуть-чуть пределы и дифференцирование с интегрированием (на уровне Зельдовича-Яглома).
3) И если всё же с моими требованиями стоит читать именно учебник матанализа, то мне очень нравится книга Зорича. Но можете ли подсказать к ней задачник? Чтобы не монотоннный Демидович, а примерно с тем же языком и нетривиальностью.

Спасибо!

[wrest]

SNet
Мне кажется, что матанализ объема первого курса на физическом направлении не требует какой-то подготовки сверх той что у вас уже есть.
Там события развиваются типа как в планиметрии -- сначала вы усваиваете язык и базовые понятия, а затем на этой базе строится здание. Ну как из, условно, пяти аксиом планиметрии, начинает вырастать здание "школьной" геометрии, планиметрия сменяется стереометриейи т.п. В какой-то момент вы изучаете теорему синусов и теорему косинусов и потом целый пласт задач по решению треугольников, затем еще что-то. А как подготовиться к началу изучения школьной геометрии, но не изучая её при этом?

Я думаю, что полезный навык для изучения матана, это элементарная алгебра -- преобразования, скобки правильно раскрыть или наоборот сгруппировать, в квадрат возвести, знать правила про логарифмы, не допускать деления на ноль, и т.п.

Самое начало курса матана (числа, последовательности, пределы, производные) довольно скучное, но очень важное, там надо научиться отделять похожие вещи, типа арифметической суммы чисел от суммы ряда, дифференциал от приращения и т.п. Но мне думается, что лучше если это с преподавателем всё проходить, а не сейчас понять неправильно, а потом мучаться.

[Gordon123]

Ну задачник Кудрявцева, например.
P.S. Хотя монотонных и нетривиальных задач в Зориче всё равно больше.

[pogulyat_vyshel]

SNet в сообщении #1322860 писал(а):

хотелось бы заранее подготовиться к дисциплинам первого курса (в основном, конечно, из интереса). Поэтому относительно матанализа

Заранее не надо,
Для преподавателя хуже нет, чем переучивать после этого "заранее"

[Someone]

SNet в сообщении #1322860 писал(а):

2) Говорят, что топология связана с основаниями матанализа и также рекомендуют книгу «Элементарная топология" Виро и других. Есть ли смысл за неё браться

Никакого смысла. Сначала надо разобраться с теми элементами топологии, которые встречаются в самом курсе математического анализа (предел, непрерывность, компактность и её следствия на примере подмножеств числовой прямой), посмотреть, как это обобщается на нормированные и метрические пространства, и только потом браться за топологию. Это я Вам говорю как преподаватель со стажем 42 года и специалист в (общей) топологии.

[Otta]

А вообще, вопрос остался: какова цель? Потому что если "чтобы легче учиться", например, - преподавание матана на физфаке несколько, гм, специфично.

[Munin]

Otta в сообщении #1322900 писал(а):

...преподавание матана на физфаке несколько, гм, специфично.

Оно приспособлено к целям физфака. И это хорошо. Это отлажено за десятилетия: именно так матан и надо преподавать будущим физикам.

[eugensk]

Munin в сообщении #1322909 писал(а):

именно так матан и надо преподавать будущим физикам.

В порядке бреда: А что если именно это не позволяет физикам открыть теорию всего? Что, если скрестить, не знаю, алгебраиста-тополога с квантовым механиком (10+10 лет обучения), то всё сразу, грубо говоря, попрёт?

Скажу сразу, я не понимаю, о чём говорю, но всё равно интересно.

[Otta]

Munin в сообщении #1322909 писал(а):

Оно приспособлено к целям физфака. И это хорошо. Это отлажено за десятилетия: именно так матан и надо преподавать будущим физикам.

Спасибо, я буду знать. У меня был вопрос, и он был к ТС.

[Yuri Gendelman]

eugensk в сообщении #1322912 писал(а):

Что, если скрестить, не знаю, алгебраиста-тополога с квантовым механиком (10+10 лет обучения), то всё сразу, грубо говоря, попрёт?

Уже скрестили. Получилась теория струн.

[SNet]

wrest
За 6 лет школы (с 5 по 11 класс) я вполне сносно владею техникой раскрытия скобок, возведения в квадрат и группировки, а за 2 года (с 10 по 11 класс) и знание основных функций. Нужно же двинуться куда-то дальше, уже осточертело.

pogulyat_vyshel
Я, как участвующий в олимпиадах по физике, достаточно давно знаю про такие вещи, как производная, интеграл, дифференциал. Даже почитывал в своё время книгу Зельдовича-Яглома. Так что если это всё неправильно, то уже давно существует необходимость переучивания, а поскольку я за оставшееся до ВУЗа время далеко не уйду, то степень неправильных представлений особо не изменится, зато мне не будет скучно и существует вероятность самому правильно взглянуть на вещи (а что собственно называется правильным взглядом?). Но тут же стоит отметить пропасть между школьной и ВУЗовской математикой, так что ещё существует шанс и утрамбовать её цементом, дабы потом не мучиться.

Someone
Спасибо! Иллюзия развеялась.

Otta
Нет, не облегчение обучения. Скорее наоборот.
В высокие материи меня потянула ещё в девятом классе, да вот обязанности школьника (в том числе сдача ЕГЭ) не давали вдохнуть полной грудью. Сейчас эти обязанности ушли, и мой интерес может реализоваться. Поэтому цели можно сформулировать по пунктам:
1) Прагматичная. Перейти пропасть между школьным и ВУЗовским языком, полнее подготовиться к физике (где уже в первых же частях курса крутятся понятия матанализа).
2) Эстетическая. Мне нравится математика и хочется её понять, причём не на уровне "Для инженеров".
А облегчение обучения очень относительное, поскольку имея такую-то базу я буду прыгать дальше.

Спасибо всем за ответы

[wrest]

SNet в сообщении #1322920 писал(а):

Я, как участвующий в олимпиадах по физике, достаточно давно знаю про такие вещи, как производная, интеграл, дифференциал.

Да, но скорее всего на уровне "по наслышке". Ну, скажем, вы можете про себя сказать, что знаете что такое "язык эпсилон-дельта"? Что именно означает "дифференциал является линейной частью приращения"? Является ли дифференциал бесконечно малой величиной? Не надо только в Вики подсматривать, просто ответьте: уверенно знаете или так, примерно...

SNet в сообщении #1322920 писал(а):

Нужно же двинуться куда-то дальше, уже осточертело.

Так ведь сентябрь не за горами...

Еще тут есть некий популярный набор вопросов.

Сколько задач из нижеперечисленных вы можете решить? Можете привести ваши ответы на каждую?

1) Из города A в город B ведут 56 дорог. Из города B в город C - 79 дорог. Дорог между A и C нет. Окольных путей тоже. Сколькими способами можно добраться из A в C?
2) Какова вероятность того, что при броске двух игральных кубиков выпадет число, большее или равное 10?
3) В мешке лежат шарики двух разных цветов. Какое наименьшее количество шариков нужно вынуть из мешка вслепую, чтобы среди них заведомо оказались два шарика одного цвета?
4) Чему равна производная от $2\sin(15)$? (15 - в радианах)
5) Сколько корней у уравнения $x^2+x+67$? (рассматриваем комплексные числа)
6) Дано уравнение $(x-2)(x+3) = 2(x-2)$. Я делю обе части на $x-2$ и получаю $x = -1$. Что я сделал неправильно, почему, и как надо делать?
7) Что является пересечением двух непересекающихся множеств?

P. S. Все авторские права на задачи принадлежат пользователю Healer.

[Otta]

SNet в сообщении #1322920 писал(а):

1) Прагматичная. Перейти пропасть между школьным и ВУЗовским языком, полнее подготовиться к физике (где уже в первых же частях курса крутятся понятия матанализа).
2) Эстетическая. Мне нравится математика и хочется её понять, причём не на уровне "Для инженеров".

Вот пункты эти в реальности очень плохо сочетаются, и обычно, выбрав направление обучения, Вы по умолчанию пошли или дорогой 1, или дорогой 2, а на другую дорогу просто не будет оставаться времени.

С пунктом 2 лучше все же ходить на математические специальности, там у Вас будет и время и возможность сполна насладиться эстетикой. А инженерным, как и физическим, обычно просто не до этого - много своего. Это свое с места в карьер требует готового аппарата, не оставляя времени на всякие излишества типа общей топологии, - коротко говоря, обучение носит сугубо прикладной характер. Я не сильно искажу реальность, если скажу, что по большому счету, математику физикам преподают физики, и пока ты там с топологией вещественной прямой раскачиваешься, им уже и производные нужны, и интегралы под свои нужды, и т.д. - поэтому математики всегда идут с запаздыванием, и студент, настроенный, как правило, меркантильно, быстро смекает, откуда ему черпать информацию, - а черпает он ее, как правило, по принципу по-своему понимаемой достаточности.

Имхо, конечно, но обычно, на мой взгляд, получается так. И только очень немногие - и обычно и то впоследствии, задаются всякими тонкими вопросами - столкнувшись с ними по работе, например.

Если что не так, меня, безусловно, поправят, - в первую очередь, физики.

[Pphantom]

Otta в сообщении #1322932 писал(а):

Если что не так, меня, безусловно, поправят, - в первую очередь, физики.

Да нет, все правильно. Более того, я могу добавить (как "физик", по историческим причинам обучавшийся математике у математиков), что тратить время и силы на другую дорогу в общем случае может быть даже вредно - вырабатывается другой стиль мышления, который потом может плохо стыковаться с характерным для будущей области работы. Конечно, если человек при этом научится эффективно переключаться с одного варианта на другой, то это, наоборот, станет большим благом, но такое мало кому удается.

[SNet]

wrest
Отвечаю сам, поэтому не бейте тапками за возможную глупость.

wrest в сообщении #1322922 писал(а):

Ну, скажем, вы можете про себя сказать, что знаете что такое "язык эпсилон-дельта"?

Не уверен, что правильно понял вопрос, но, кажется, это способ определения предела последовательности и функции соответственно. Так-то эти все эпсилоны и дельты представляют собой сколь угодно малые окрестности некоторой точки.

wrest в сообщении #1322922 писал(а):

Что именно означает "дифференциал является линейной частью приращения"?

Приращение функции можно разложить в ряд, где в общем случае будут также и нелинейные члены, но всё же будет линейный член, который и называется дифференциалом функции. Также геометрически это связано с аппроксимации графика функции прямой: в бесконечно малой окрестности некоторой внутренней точки гладкой функции (или, точнее, гладкой на множестве) она ведёт себя как касательная к ней в этой точке (в плане приращения).

wrest в сообщении #1322922 писал(а):

Является ли дифференциал бесконечно малой величиной?

Нет. Бесконечно малая величина -- это последовательность. Если же вы про некие бесконечно малые значения, то тоже нет. Он шибко похож на функцию, поскольку дифференциал независимой переменной можно интерпретировать просто как приращение. Да, он должен быть функцией: подходит под определение.

wrest в сообщении #1322922 писал(а):

Так ведь сентябрь не за горами...

А до него что делать? :(

wrest в сообщении #1322922 писал(а):

1) Из города A в город B ведут 56 дорог. Из города B в город C - 79 дорог. Дорог между A и C нет. Окольных путей тоже. Сколькими способами можно добраться из A в C?

$4424$ способами (применял правило произведения).

wrest в сообщении #1322922 писал(а):

2) Какова вероятность того, что при броске двух игральных кубиков выпадет число, большее или равное 10?

При броске двух игральных кубиков у нас возможно $36$ вариантов распределений чисел (правило произведения). Из них нам подходят только $6, 6$; $5, 6$; $6, 5$l; $5, 5$; $6, 4$; $4, 6$. Итого имеем вероятность $\frac{1}{6}$.

wrest в сообщении #1322922 писал(а):

3) В мешке лежат шарики двух разных цветов. Какое наименьшее количество шариков нужно вынуть из мешка вслепую, чтобы среди них заведомо оказались два шарика одного цвета?

Исходя из равновероятности вытянуть шарик определённого цвета, которая позволяет применить принцип Дирихле -- $3$.

wrest в сообщении #1322922 писал(а):

4) Чему равна производная от $2\sin(15)$? (15 - в радианах)

$0$ (поскольку это производная от константы).

wrest в сообщении #1322922 писал(а):

5) Сколько корней у уравнения $x^2+x+67$? (рассматриваем комплексные числа)

В своё время меня удивило поле комплексных чисел. Ответ $2$ (стандартно через представление дискриминанта комплексным числом).

wrest в сообщении #1322922 писал(а):

6) Дано уравнение $(x-2)(x+3) = 2(x-2)$. Я делю обе части на $x-2$ и получаю $x = -1$. Что я сделал неправильно, почему, и как надо делать?

Вы потеряли корень $x = 2$, там нужно было за скобку вынести и рассмотреть совокупность уравнений.

wrest в сообщении #1322922 писал(а):

7) Что является пересечением двух непересекающихся множеств?

Пустое множество, по определению.

Странные задачки, где подвох?