2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Гравитация. Задача трех тел. Частный случай
Сообщение26.06.2018, 17:29 


05/09/16
10922
fred1996 в сообщении #1322745 писал(а):
Вот лично я про эти точки никогда не слышал.

Надо было выписывать и читать "Технику-молодежи" в 1985 году: http://epizodyspace.ru/bibl/tm/1985/12/put.html

 Профиль  
                  
 
 Картинка
Сообщение26.06.2018, 20:58 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Поскольку интерес представляет только точка $L_4(L_5)$, то для наглядности представлю картинку
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Гравитация. Задача трех тел. Частный случай
Сообщение26.06.2018, 21:01 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Треугольник $Mm\mu$ -- равносторонний.

На самом деле в качестве олимпиадной тут сгодилась бы такая задача. Доказать, что три точечных массы притягивающиеся друг к другу по закону всемирного тяготения и находящиеся все время в плоскости и не лежащие на одной прямой, движутся как твердое тело тогда и только тогда, когда они образуют равносторонний треугольник, который вращается с постоянной угловой скоростью вокруг центра масс системы

 Профиль  
                  
 
 Re: Гравитация. Задача трех тел. Частный случай
Сообщение26.06.2018, 21:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Эта задача противоречит трём из пяти точек Лагранжа?

P. S. А, исправлена формулировка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гравитация. Задача трех тел. Частный случай
Сообщение26.06.2018, 21:06 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
pogulyat_vyshel
Спасибо, хорошая задачка.
wrest

(Оффтоп)

надо было 4 года назад биткоины покупать


-- 26.06.2018, 10:10 --

Munin в сообщении #1322800 писал(а):
Эта задача противоречит трём из пяти точек Лагранжа?

Не противоречит. Просто остальные на мой взгляд не так интересны. И колебания там если и есть, то более тривиальные. Для $L_2(L_3)$ только радиальные. И скорее всего неустойчивые.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гравитация. Задача трех тел. Частный случай
Сообщение27.06.2018, 00:32 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
pogulyat_vyshel в сообщении #1322799 писал(а):
Треугольник $Mm\mu$ -- равносторонний.

На самом деле в качестве олимпиадной тут сгодилась бы такая задача. Доказать, что три точечных массы притягивающиеся друг к другу по закону всемирного тяготения и находящиеся все время в плоскости и не лежащие на одной прямой, движутся как твердое тело тогда и только тогда, когда они образуют равносторонний треугольник, который вращается с постоянной угловой скоростью вокруг центра масс системы

Немного поломав голову, я ее решил практически без вычислений. В векторном виде.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гравитация. Задача трех тел. Частный случай
Сообщение27.06.2018, 12:24 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Вв векторном виде- это само собой, а без вычислений это я не понимаю, это для меня слишком круто

 Профиль  
                  
 
 Re: Гравитация. Задача трех тел. Частный случай
Сообщение27.06.2018, 17:36 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Без вычислений, это типа в уме. :D
Пусть у нас массы тел будут $m_1,m_2, m_3$. Поместим их в вершины равностороннего треугольника со стороной $r$, И векторы их соединяющие $\vec{r}_{12}, \vec{r}_{23}, \vec{r}_{13}$
Тогда сила гравитации, действующая на первое тело будет $G\frac{m_1}{r^3}(m_2\vec{r}_{12}+m_3\vec{r}_{13})$. Откуда видно, что вектор этой силы проходит через ЦМ Этой системы. Аналогично и для двух других тел. То есть все такие силы проходят через общий центр масс. Давайте закрутим эту систему вокруг ЦМ с такой угловой скростью, чтобы центробежная сила, действующая на первое тело уравновесилась силой гравитации. Тогда получится что векторная сумма остальных двух сил гравитации уравновесится суммой центробежных сил. Причем направления сил гравитации и центробежных сил совпадают. Это возможно только в таком случае, когда центробежные силы и силы гравитации попарно уравновешивают друг друга.

Кстати задачку, в том виде как я дал, я решал довольно долго с помощью геометрических построений и некоторой тригонометрии.
Тогда как она всего лишь частный случай, предложенной вами.

-- 27.06.2018, 06:52 --

Ну и невозможность получить равновесие в случае неравностороннего треугольника доказывается анологичным образом. Теперь закрутим систему с какой нибудь угловой скоростью вокруг общего ЦМ. Тогда сила гравитации на первое тело будет $Gm_1(\frac{m_2\vec{r}_{12}}{r_{12}^3}+\frac{m_3\vec{r_{13}}}{r_{13}^3})$. И явно не проходит через ЦМ системы. Равновесия нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гравитация. Задача трех тел. Частный случай
Сообщение27.06.2018, 18:20 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
fred1996 в сообщении #1322969 писал(а):
Тогда сила гравитации, действующая на первое тело будет $G\frac{m_1}{r^3}(m_2\vec{r}_{12}+m_3\vec{r}_{13})$.

а что такое $r$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гравитация. Задача трех тел. Частный случай
Сообщение27.06.2018, 19:12 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Это длина стороны равностороннего треугольника

 Профиль  
                  
 
 Re: Гравитация. Задача трех тел. Частный случай
Сообщение27.06.2018, 19:40 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
fred1996 в сообщении #1322969 писал(а):
Тогда получится что векторная сумма остальных двух сил гравитации уравновесится суммой центробежных сил.

с этого места понимать перестал, формулы нужны и внятные объяснения. Ну т.е. мне не нужны, я решение и так знаю, и понять , что вы пишите дальше пытаться не буду, на нервы этот стиль действует, откровенно говоря.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гравитация. Задача трех тел. Частный случай
Сообщение27.06.2018, 20:01 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Пусть у нас есть для этой задачи набор сил гравитации $\vec{F}_i$ и набор центробежных сил $\vec{f}_i$. Мы выяснили, что они попарно параллельны да еще в сумме по соответствующим тройкам дают ноль. Возьмем и приравняем $\vec{F}_1=\vec{f}_1$.
Тогда в двумерной декартовой системе у нас получится 4 уравнения, связывающие 4 неизвестных четырмя известными параметрами:
$\vec{f}_1+\vec{f}_2=\vec{F}_1+\vec{F}_2$
$\vec{F}_1\times\vec{f}_1=0$
$\vec{F}_2\times\vec{f}_2=0$
Решение у этой системы тривиальное : $\vec{f}_i=\vec{F}_i$

-- 27.06.2018, 09:07 --

pogulyat_vyshel
Вы уж извините, а стиль я по возможности выбираю словесный. Это из педагогических соображений.
Своих учеников я как раз приучаю к тому, чтобы они сами учились переводить слова в формулы. И здесь по возможности оставляю шанс другим участникам самим перевести слова в формулы. Чтобы не все медом казалось. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Гравитация. Задача трех тел. Частный случай
Сообщение27.06.2018, 21:35 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Ладно, приведу тогда даказательство, которое требует немного бумаги и чернил.
Итак, если первое тело поместить в центр координат, то сила гравитации у нас будет. $ G\frac{m_1}{r^3}(m_2\vec{r}_{12}+m_3\vec{r}_{13})$
А ЦМ системы будет находиться в точке $\vec{a}=\frac{m_2\vec{r}_{12}+m_3\vec{r}_{23}}{m_1+m_2+m_3}$
Если теперь всю систему раскрутить вокруг ЦМ, то для удержания первого тела на круговой орбите понадобится сила $m_1\omega^2\vec{a}$ Отсюда находим требуемую угловую скорость $\omega ^2=G\frac{m_1+m_2+m_3}{r^3}$, которая оказывается одна и та же для всех трех тел.

Единственное, сдается мне, что сия конструкция находится в неустойчивом равновесии. И за достаточно длительный промежуток времени равносторонний треугольник рассыпется. Устойчивость для двух массивных и одного легкого обьекта тоже на самом деле только квази. Она возможна только в предположении что два тяжелых тела двигаются строго по круговым орбитам вокруг их общего ЦМ. Но на самом деле это не так, и за достаточно длительное время присутствие третьего малого тела разрушит этот баланс.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 28 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group