Гравитация. Задача трех тел. Частный случай

[fred1996]

Пусть у нас имеются два массивных тела с массами $m_1$ и $m_2$, которые вращаются вокруг общего ЦТ по круговым орбитам на расстоянии $R$ друг от друга. Вокруг них запустили легкий искусственный спутник, который вращается тоже по круговой орбите. Определить его местоположение относительно первых двух тел и период обращения.
Определить период малых колебаний при небольшом радиальном отклонении от положения "равновесия"

[ShMaxG]

Странная задача какая-то. Ну есть точки либрации, любая из них (ну кроме быть может $L_1$, которая между $m_1$ и $m_2$) подойдет под условие задачи, если под "вращением по орбите" понимать движение по круговой траектории вокруг центра масс главных тел. Местоположения и периоды -- все известно из стандартной теории/учебников. Что касается малых колебаний -- этот вопрос еще более странный. Коллинеарные точки неустойчивые, сдвиг по радиальному направлению (с сохранением нулевой скорости во вращающейся системе координат?) не приведет к колебаниям. Чтобы получить колебания, надо и положение, и скорость менять. В любом случае они находятся стандартным образом через линеаризацию системы, поиск собственных значений и т.д. Треугольные точки -- устойчивые не всегда, а лишь когда отношение масс достаточно малое (как, например, Луны к Земле или Земли к Солнцу). Но и там эти колебания находятся стандартно. В чем олимпиадность? В чем задача вообще?

[Pphantom]

ShMaxG в сообщении #1322633 писал(а):

Ну есть точки либрации, любая из них (ну кроме быть может $L_1$, которая между $m_1$ и $m_2$) подойдет под условие задачи, если под "вращением по орбите" понимать движение по круговой траектории вокруг центра масс главных тел.

$L_1$ - тоже (она с центром масс в общем случае не совпадает, так что ничем не хуже остальных).

Но задача, да, совершенно стандартна.

[ShMaxG]

Pphantom
Ну там написано, что

fred1996 в сообщении #1322610 писал(а):

Вокруг них запустили легкий искусственный спутник, который вращается тоже по круговой орбите.

И это "вокруг них" я проинтерпретировал как то, что главные тела находятся "внутри" орбиты, а $L_1$ как бы между, поэтому и поправился немного. Задача неаккуратно поставлена.

[fred1996]

Олимпиадность в том, что взята из олимпиады достаточно высокого уровня. А "вокруг" специально вставил, чтобы совсем исключить тривиальный случай $L_1$ .
Конечно, тем кто интересуется астрономией, такие штуки известны. Но это задача по физике для школьников, которые с астрономией вряд ли так хорошо знакомы. В школьной программе этого нет. Так что думать надо самому. И устойчивость таких точек "равновесия" есть. По крайней мере в солнечной системе вокруг таких точек наблюдатся скопления астероидов и пыли.
В олимпиадной формулировке вопрос задан насчет радиальных колебаний. Но можно расчитать и "тангенциальные".
Ну кто утверждает, что задачка стандартная, пусть покажет мне ссылку на задачник по физике, где такие задачи разбираются. В разделах гравитация или гармонические колебания я этой задачи не встречал.

[ShMaxG]

Ну, для школьников-то эта задача может быть и сложная. Просто вы в стартовом сообщении не написали для кого эта задача.

fred1996 в сообщении #1322721 писал(а):

Олимпиадность в том, что взята из олимпиады достаточно высокого уровня.

Откуда конкретно?

fred1996 в сообщении #1322721 писал(а):

В олимпиадной формулировке вопрос задан насчет радиальных колебаний. Но можно расчитать и "тангенциальные".

Можно поподробнее, что за радиальные и тангенциальные колебания такие?

fred1996 в сообщении #1322721 писал(а):

Ну кто утверждает, что задачка стандартная, пусть покажет мне ссылку на задачник по физике, где такие задачи разбираются.

Какие такие? Дать ссылку на учебник, где вводятся точки либрации? Например здесь:

[1] Себехей В. Теория орбит: ограниченная задача трех тел. Пер. с англ. Под ред. Г.Н. Дубошина. -- М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы. 1982. -- 656 с.

[2] Охоцимский Д.Е., Сихарулидзе Ю.Г. Основы механики космического полета: Учеб. пособие. -- М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. -- 448 с.

[3] Балк М.Б. Элементы динамики космического полета. -- М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1965. -- 340 с.

[Munin]

fred1996 в сообщении #1322721 писал(а):

Но это задача по физике для школьников, которые с астрономией вряд ли так хорошо знакомы. В школьной программе этого нет.

Это ещё вопрос. Надо посмотреть, что в современной российской программе по астрономии и в новых учебниках по ней есть (хороших, а не скородельных).

fred1996 в сообщении #1322721 писал(а):

Так что думать надо самому.

Если школьник про эти точки ничего не слышал, то задача для него нерешаемая.

[fred1996]

ShMaxG
Пока раскрывать источник олимпиадности не буду. Я там нарыл несколько довольно интересных задач и хотел бы их тут опубликовать.
Пока что поверьте на слово. Ну а литература, которую вы тут предлагаете явно не для школьников. Мне кажется, олимпиадный раздел здесь расчитан как раз на продвинутый школьный уровень. Конечно, многие задачи для специалиств покажутся стандартными. Но, опять же, тут узких специалистов не так много, а для остальных любителей все это представляет интерес поломать голову над нестандартными для них задачами. Так что предлагаю специалистам отойти в сторонку, ну или включиться уже в обсуждение предложенных решений. По крайней мере лично я так поступаю. И пытаюсь решить здесь только те задачи, которые раньше не попадались.
Простой пример. Один весьма сильный специалист по теормеху предлагает тут задачи из курсов теоетической механики и даже продвинутые. Они могут решаться методами "лагранжианов и гамильтонианов", а могут весьма часто и обычными школьными методами, но при определенном напряжении ума. Мне это взаимодействие весьма интересно. И массу задач из этого раздела я использую для подготовки своих олимпиадников. Так что, если хотите, многие такие задачки я тут использую для обкатки. Потому как возможно у меня самого решения могут быть кустарные и не такие эстетичные, как у некоторых специалистов. А это можно выяснить только в процессе обсуждений.
Насчет колебаний мне кажется все достаточно просто. В данной задаче получаются круговые орбиты с постоянной скоростью. Если отклонить чуток наше тело от точки "равновесия" либо в радиальном, либо в тангенциальном направлении, возникнут колебательнве движения. Ну или по крайней мере это можно доказать. Может я и не прав, но это тоже можно пообсуждать.

[Pphantom]

Munin в сообщении #1322738 писал(а):

Если школьник про эти точки ничего не слышал, то задача для него нерешаемая.

Нечто подобное (правда, только поиск самих точек, а не частоты колебаний) предлагалось лет десять назад на заключительном этапе Всероса по физике. Естественно, для знакомых с астрономией задача оказалась намного проще, но по крайней мере часть "чистых физиков" с ней тоже справилась.

[pogulyat_vyshel]

ShMaxG в сообщении #1322731 писал(а):

Ну, для школьников-то эта задача может быть и сложная. Просто вы в стартовом сообщении не написали для кого эта задача.

эта задача ни чем ни проще и не стандартней олимпиадных задач по теормеху любого вуза, физтех ваш не исключение, разумеется

[ShMaxG]

fred1996 в сообщении #1322741 писал(а):

Если отклонить чуток наше тело от точки "равновесия" либо в радиальном, либо в тангенциальном направлении, возникнут колебательнве движения. Ну или по крайней мере это можно доказать.

Видимо речь идет о треугольных точках либрации, но тогда необходимо в условии задачи потребовать их устойчивость, а сейчас в условии задачи этого нет.

[fred1996]

Munin в сообщении #1322738 писал(а):

fred1996 в сообщении #1322721 писал(а):

Так что думать надо самому.

Если школьник про эти точки ничего не слышал, то задача для него нерешаемая.

Вот лично я про эти точки никогда не слышал. А, наткунувшись на задачу, решил ее вполне школьными методами. Так что предлагаю все же подождать других "школьников". Мне кажется, в результате может получиться плодотворное обсуждение. Ну в конце концов, не тащить же эту задачу в ПРР.

[Munin]

fred1996 в сообщении #1322741 писал(а):

Мне кажется, олимпиадный раздел здесь расчитан как раз на продвинутый школьный уровень.

Студенческие олимпиады здесь тоже представлены.

Конечно, жаль, что они никак не разделены, и авторы задач никак не упоминают предлагаемый уровень (прописать это в правилах было бы несложно).

-- 26.06.2018 16:54:20 --

fred1996 в сообщении #1322745 писал(а):

Вот лично я про эти точки никогда не слышал.

Ну знаете! Феерия! А про законы Кеплера хоть слышали? А про приливы?

[wrest]

fred1996 в сообщении #1322721 писал(а):

И устойчивость таких точек "равновесия" есть.

Неясно откуда ей взяться, устойчивости. Вы хотите сказать что если немного толкнуть тело в точке $L_2$ (которая видимо и имется в виду в задаче) радиально, то оно начнет радиально колебаться вокруг неё?

Затем, в точном решении там по-моему выйдет какое-то ломовое уравнение пятой степени относительно $r$ (если не вводить условия $m_1\ll m_2$) и соответственно корень которого не выражается в радикалах.

Например, что будет если $m_1=m_2=m$?

У вольфрама ( ) получается что для $m_1=m_2$
$r=0,698406R$ где $0,698406$ - единственный действительный корень уравнения $2x^5+5x^4+4x^3-x^2-2x-1=0$

[Munin]

https://ru.wikipedia.org/wiki/Точки_Лагранжа

На этой диаграмме хорошо видно, какие точки устойчивые, а какие - нет (перпендикулярно плоскости рисунка каждая точка - минимум в потенциале).

-- 26.06.2018 17:03:44 --

https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrangian_point

Цитата:

The triangular points ($L_4$ and $L_5$) are stable equilibria, provided that the ratio of $\tfrac{M_1}{M_2}$ is greater than 24.96.
...
In contrast to $L_4$ and $L_5,$ where stable equilibrium exists, the points $L_1,$ $L_2,$ and $L_3$ are positions of unstable equilibrium.

-- 26.06.2018 17:06:12 --

https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrangian_point