Производные и уравнения

[BorisMorozov]

Часто вижу, как, чтобы решить какое-нибудь уравнение, от каждой его части берут производную (либо интеграл, зависит от случая) и решают получившееся уравнение с производными (интегралами). А почему вообще от каждой части уравнения можно взять производную (интеграл)? Почему решение уравнения не меняется от этого?

[kotenok gav]

BorisMorozov в сообщении #1322664 писал(а):

Почему решение уравнения не меняется от этого?

Меняется; к примеру $x^2-1=0$ и $2x=0$.

[Mikhail_K]

BorisMorozov в сообщении #1322664 писал(а):

Часто вижу, как, чтобы решить какое-нибудь уравнение, от каждой его части берут производную

Приведите примеры. Тут такая вещь: производные от левой и правой части уравнений брать нельзя, но от тождеств - можно. Просто потому, что если две функции тождественно равны, то и их производные тождественно равны. Так же и с интегралами.

[thething]

Пусть есть уравнение $Ax=y$, тогда $A^{-1}Ax=A^{-1}y$ или $x=A^{-1}y$. Таким образом, если $A$ -- оператор дифференцирования, то, чтобы решить уравнение, надо применить какой-нибудь обратный оператор к оператору дифференцирования, т.е. какой-то оператор интегрирования, и наоборот.

Производную обычно берут, когда решают интегральные уравнения Вольтерра второго рода. Поскольку такие уравнения представляют собой равенства между функциями, то, естественно, производные одинаковых функций -- равны (как функции), при условии, что дифференцирование вообще законно.

Если речь о простейших уравнениях, типа квадратного, то там имеется ввиду не функциональное равенство, а поиск значений, обращающих функцию в ноль, поэтому дифференцирование/интегрирование не является законным.

[BorisMorozov]

Вот примеры.
1. Из "Фейнмановских лекций", выпуск 2, глава 15, параграф 1. Автор рассказывает о принципе относительности и преобразованиях Галилея.
Он пишет такое уравнение: $x'=x-ut$, где x' - координата в движущейся системе, x- в неподвижной, u - скорость движения системы координат относительно неподвижной системы. Вот что дальше: "Дифференцируя, получаем $\frac{dx'}{dt}=\frac{dx}{dt}-u$ ".
2. "Высшая математика для начинающих", Зельдович, глава 6, параграф 6. "Разберём ещё несколько простых примеров уравнений с разделяющимися переменными. Пусть $\frac{dy}{dx}=xy$. Разделяя переменные, получаем $\frac{dy}{y}=xdx$, откуда $\int\frac{dy}{y}=\int xdx$, или $\ln y=\frac{x^2}{2}+C$, или, наконец, $y=\exp(\frac{x^2}{2}+C)$. " Почему можно проинтегрировать обе части уравнения?
3. Та же книга, глава 6, параграф 7. Есть уравнение, обозначенное в тексте как (10): $\frac{dt}{dz}=f(z)$. Автор пишет: "Умножим левую и правую части (10) на $dz$ и проинтегрируем обе части получившегося равенства: $\int\limits_{t_0}^tdt=\int\limits_{z_0}^zf(z)dz$. Отсюда имеем $t=t_0+\int\limits_{z_0}^zf(z)dz$ ". Опять же, почему можно проинтегрировать обе части?

[Mikhail_K]

BorisMorozov
Уже было сказано выше.

Если равенство означает тождественное равенство, т.е. выражения в левой и правой части представляют собой одинаковые функции, то дифференцировать/интегрировать можно. У одинаковых функций, понятно, и производные и интегралы тоже совпадают.

Если равенство нетождественное, т.е. левая и правая часть совпадают не всюду, а только в какой-то точке (которую в уравнении обычно и требуется найти), то дифференцировать/интегрировать нельзя. У разных функций производные и интегралы тоже разные, и могут совпадать по значениям не в тех же точках, где совпадают исходные функции.

Что касается примера 2, правомерность таких манипуляций с выражениями, содержащими дифференциалы, должна специально объясняться в учебнике.

[thething]

По примеру 2 можно сказать так: исходное уравнение можно привести к виду $\frac{y'}{y}=x$, или $(\ln\left\lvert y\right\rvert)'=x$, а дальше, опять же равенство функций со всеми вытекающими.

[Someone]

BorisMorozov в сообщении #1322678 писал(а):

2. "Высшая математика для начинающих", Зельдович, глава 6, параграф 6. "Разберём ещё несколько простых примеров уравнений с разделяющимися переменными. Пусть $\frac{dy}{dx}=xy$. Разделяя переменные, получаем $\frac{dy}{y}=xdx$, откуда $\int\frac{dy}{y}=\int xdx$, или $\ln y=\frac{x^2}{2}+C$, или, наконец, $y=\exp(\frac{x^2}{2}+C)$. " Почему можно проинтегрировать обе части уравнения?

BorisMorozov в сообщении #1322678 писал(а):

Если равенство означает тождественное равенство, т.е. выражения в левой и правой части представляют собой одинаковые функции, то дифференцировать/интегрировать можно. У одинаковых функций, понятно, и производные и интегралы тоже совпадают.

В случае дифференциальных уравнений как раз и ищется такая функция, чтобы уравнение превращалось в тождество.

[BorisMorozov]

То есть в этих примерах были записаны тождества, а не уравнения?

[thething]

BorisMorozov
В этих примерах записаны равенства между функциями. А по определению две функции равны, если...

[BorisMorozov]

Спасибо. Кажется, понял.

[Munin]

BorisMorozov в сообщении #1322689 писал(а):

То есть в этих примерах были записаны тождества, а не уравнения?

Разница между "тождествами" и "уравнениями" называется такими словами в основном в школе. Хотя по сути, остаётся и дальше на всю жизнь.

Равенство $\tfrac{dy}{dx}=xy$ вполне можно назвать уравнением, если рассматривать его как дифференциальное уравнение. Соответственно, неизвестной здесь является функция $y(x),$ и её и надо найти. То есть, с точки зрения "что с этим делать" - это уравнение. Но с точки зрения "выполняется ли это при любых $x,$ или только при одном значении $x$" - тождество.